Решение дифференциальных уравнений Ван_дер_Поля

Продолжим рассмотрение моделирования колебательных систем. Системы второго порядка, описываемые дифференциальными уравнениями второго порядка, занимают важное место в таком фундаментальном разделе физики, как теория колебаний. Именно на базе подобных систем созданы многочисленные генераторы периодических колебаний самого различного типа – от LC_генераторов до лазерных и иных квантовых генераторов.

Пример моделирования типовой системы второго порядка есть в наборе демонстрационных примеров пакета Simulink. Модель такой системы представлена на рис. 1.7. Эта система описывается хорошо известным нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка Ван_дер_Поля (или двумя уравнениями первого порядка).

u" + (u² - b) u' + u = 0,

где u, u' и u" - функция, её первая и вторая производные по времени t,

b - произвольный параметр. Параметр b определяет потери в системе, а слагаемое u² в скобках - её нелинейные свойства (например, рабочие характеристики активного элемента автогенератора).

Данное дифференциальное уравнение второго порядка можно привести к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка

y₁' = (1 - y₂²) y₁ - y₂,

y₂' = y₁,

где y₁ = u' и y₂ = u, а параметр b принят равным единице.

Как нетрудно заметить, данная модель представляет собой усилитель с нелинейным элементом Fcn, позволяющим задать тип нелинейности, с положительной обратной связью и имеет в своем тракте блоки, ослабляющие как высокие, так и низкие частоты.

Колебания в такой системе возникают на некоторой частоте, для которой фазовый сдвиг тракта равен нулю, а малосигнальный петлевой коэффициент передачи превышает 1. Характер развития колебательного процесса в решающей мере зависит от характера нелинейности, заданного в блоке Fcn. На рис. 1.7 показан и результат моделирования. В данном случае виртуальный осциллограф отображает две кривые, соответствующие выходным портам Out 1 и Out 2. Для этого перед осциллографом размещен блок мультиплексора Mux с двумя входами. Результат моделирования отображается в виде временных зависимостей выходных сигналов. Они представляют собой периодические колебания, форма которых заметно отличается от синусоидальной, что является следствием нелинейности моделируемой системы.

Дата добавления: 2014-01-06