Метод динамического программирования

Лекция 14,15.

Вопросы: 1. Основные понятия. Общая постановка задачи ДП.

2. Принцип оптимальности. Функциональные уравнения Беллмана.

3. Задача оптимального распределения ресурсов.

4. Задача о замене.

5. Задача управления производством и запасами.

1. Основные понятия. Общая постановка задачи динамического программирования.

Динамическое программирование - метод оптимизации, приспособленный к операциям, в которых процесс принятия решений может быть разбит на отдельные этапы, шаги.

Такие операции называются многошаговыми. Многие экономические процессы расчленяются на шаги естественным образом. Это процессы планирования и управления, развиваемые во времени. Естественным шагом может быть год, квартал, месяц и т.д. Т.о., если управление сводится к однократному принятию решения, то соответствующая задача называется одноэтапной или одношаговой. Ранее решаемые задачи линейного и нелинейного программирования – примеры подобных задач. Если управление требует некоторой последовательности принятых решений, то такая задача называется многоэтапной или многошаговой.

Рассмотрим некоторую управляемую систему, характеризующуюся определенным набором параметров, задающих ее состояния. Система под влиянием управления переходит из начального состояния в конечное. Введем обозначения.

1. x_i – многомерный вектор, компоненты которого определяют состояние системы на

i-том шаге. Дальнейшее изменение состояния зависит только от данного состояния и не

зависит от того, каким путем система перешла в него (процесс без последствия).

2. На каждом шаге выбирается одно решение, управление u _i, под действием которого

система переходит из предыдущего состояния x _i-1 в новое x _i. Это новое состояние

является функцией состояния на начало шага x_i-1 и принятого в начале решения u_i, т.е.

x_i = x_i (x_i-1, u_i).

3. Действие на каждом шаге связано с определенным выигрышем (доходом, прибылью)

или потерей (издержками), которые зависят от состояния на начало шага и принятого

решения. F_i – приращение целевой функции задачи в результате i-того шага,

аналогично, F_i = F_i (x_i-1, u_i). Тогда значение целевой функции при переходе системы

из начального состояния в конечное за n шагов

.

4. На векторы состояния х_i и управления u_i могут быть наложены ограничения,

объединение которых составляет область допустимых решений u U.

5. Требуется найти такое допустимое управление u* = (u₁*,…, u_n*) (для каждого шага),

чтобы получить экстремальное значение функции цели F* за все n шагов.

Любая последовательность действий для каждого шага, переводящая систему из начального состояния в конечное, называется стратегией управления.

Допустимая стратегия управления, доставляющая функции цели экстремальное значение, называется оптимальной.

Дата добавления: 2014-01-06