Арифметические операции с двоичными кодами

Арифметические операции с двоичными кодами выполняются в соответствии со следующими правилами:

сложение вычитание умножение

0 + 0 = 0 0 – 0 = 0 0 х 0 = 0

1 + 0 = 1 1 – 0 = 1 1 х 0 = 0

0 + 1 = 1 1 - 1 = 0 0 х 1= 0

1+ 1 = 0Þ 1 1Þ 0 – 1 = 1 1 х 1 = 1

При выполнении операции вычитания с заёмом в старшем разряде следует запомнить, что единица старшего разряда равна двум единицам младшего разряда, например:

1+1

1 1 0

-1

1 0 1

Таблица 1.2.2.
Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления и обратно
Перевод целых чисел	Перевод дробных чисел
Правило перевода. Разделить число на основание системы счисления. Остаток от деления записать в виде кода двоичного числа. Целую часть числа снова разделить на основание системы счисления. Вверху младший разряд, внизу – старший разряд.   29: 2 = 14 1 - мл. разряд 14: 2 = 7 0 7: 2 = 3 1 3: 2 = 1 1 1: 2 = 0 1 – ст. разряд     Код: 11101	Правило перевода. Умножить число на основание системы счисления. Целая часть полученного числа образует код двоичного числа, а остаток используется для последующего умножения. Вверху старший разряд, внизу – младший. Умножение продолжается до достижения требуемой точности.   0.35 х 2 = 0.70 0 - ст. разряд 0.70 х 2 = 1.4 1 0.4 х 2 = 0.8 0 0.8 х 2 = 1.6 1 0.6 х 2 = 1.2 1 0.2 х 2 = 0.4 0 - мл. разряд   Код числа.01011

Таблица 1.2.3

Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную

Перевод целых чисел

Перевод дробных чисел

Правило перевода. Умножить старший разряд на основание системы счисления и прибавить к полученному результату следующий разряд. Полученное число снова умножить на основание системы счисления и прибавить следующий разряд.   1 =1 - ст. разряд 1 х 2 + 1 = 3 3 х 2 + 1 = 7 7 х 2 + 0 = 14 14 х 2 + 1 = 29 - мл. разряд

Правило перевода. Разделить младший разряд на основание системы счисления. Прибавить к полученному числу следующий разряд и разделить результат на основание системы счисления. Прибавить к полученному результату текущий разряд и снова разделить полученный результат на основание системы счисления. 1: 2 = 0.5 - мл. разряд (0.5 + 1): 2 = 0.75 (0.75 + 0): 2 = 0.375 (0.375 + 1): 2 = 0.6875 (0.6875 + 0): 2 = 0.34375 - ст. разряд  

Перевод десятичных чисел в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления и обратно осуществляется по приведенным выше правилам.

Пример 1.2.1: Сложение и вычитание двоичных чисел.

101101 1001101

+ 10110 - 11011

1000011 0110010

Операцию вычитания заменяют в ЭВМ сложением дополнительных кодов этих же чисел. Дополнительный код отрицательного числа образуется путём прибавления единицы к младшему разряду обратного кода этого числа:

прямой код - 101101

обратный код 010010

+ _ 1

дополнительный код 010011

Дополнительный код положительного числа равен этому же положительному числу.

При сложении чисел в дополнительных кодах используется правило: сумма дополнительных кодов чисел равна дополнительному коду результата. При этом необходимо учитывать перенос в знаковый (к+1) разряд; перенос в старший (к+2) разряд не учитывается. Если в знаковом разря­де единица, то число отрицательное. Если результат сложения дополнительных кодов положительный, то результат сложения чисел будет равен дополнительному коду результата. Если результат сложения дополнитель­ных кодов отрицательный, то результат получают следующим образом:

1) вычесть единицу из дополнительного кода результата;

2) найти код обратный полученному.

Это и будет искомый резуль­тат.

Примеры сложения чисел в дополнительных кодах:

	Пример 1.2.2: 7 + (-5) = 2
	¯ Знаковый разряд
7 +	0	0	0	0	0	1	1	1	¬ код числа 7
-5	1	1	1	1	1	0	1	1	¬ дополнительный код числа -5
2	0	0	0	0	0	0	1	0	¬ дополнительный код результата (положительный) равен результату

	Пример 1.2.3: (-7) + (-5) = -12
	¯ Знаковый разряд
-7 +	1	1	1	1	1	0	0	1	¬ дополнительный код числа -7
-5	1	1	1	1	1	0	1	1	¬ дополнительный код числа -5
-12	1	1	1	1	0	1	0	0	¬ дополнительный код результата (отрицательный)

Преобразование дополнительного кода результата

Вычитаем единицу из дополнительного кода результата и получаем обратный код, из которого затем получаем прямой код (знаковый разряд не преобразуется).

	¯ Знаковый разряд
-12 -	1	1	1	1	0	1	0	0	¬ дополнительный код результата
	0	0	0	0	0	0	0	1	¬ код числа 1
	1	1	1	1	0	0	1	1	¬ обратный код результата
-12	1	0	0	0	1	1	0	0	¬ результат в прямом коде

Операции умножения и деления выполняются в ЭВМ по определенным алгоритмам, сходными с алгоритмами умножения и деления в арифметике. Операции умножения представляются последовательностью операций умножения, сдвига и сложения.

Пример 1.2.4: 22 х 7 = 154

х 111

+ 10110_

+ 10110__

Операция деления в ЭВМ представляется последовательностью операций сравнения, умножения, вычитания и сдвига.

Пример 1.2.5: 154: 22 = 7

10011010 | 10110

10110 0111

10110

10110

Контрольные вопросы

1. Что такое основание системы счисления?

2. Запишите число 476,15 в общей форме записи чисел в позицион­ной системе счисления.

3. Составьте таблицу двоичных кодов шестнадцатеричной системы счисления, используя общую форму записи чисел в позиционной системе счисления.

4. Переведите в восьмеричную систему счисления код 0111001111001₂.

5. Переведите в шестнадцатеричную систему счисления код 1011 0110 1111 1010.

6. Переведите код 1001 1000 0101 0010 из двоично-десятичной сис­темы счисления в десятичную систему счисления.

7. Переведите число АС37₁₆ в двоичную систему счисления.

8. Переведите в двоичную систему счисления число 375₁₀. Сделай­те проверку.

9. Переведите в двоичную систему счисления число 0,761 с точностью до 0,01. Сделайте проверку.

10. Переведите из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления следу­ющие коды: 10110110, 0.10110011.

Дата добавления: 2014-01-06