Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Нелинейные уравнения вида F(x) = 0 принято называть алгебраическими, если они содержат только алгебраические функции, и трансцендентными, если они содержат другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и т.д.).

При решении нелинейных уравнений всегда возникают серьезные трудности. В аналитическом виде можно получить решение алгебраического уравнения не выше второй степени. Для решения уравнений большей степени, а также трансцендентных уравнений можно использовать графические и численные методы.

Под численным методом решения уравнений понимают метод нахождения численных значений корней уравнения с заданной точностью.

Пусть дано уравнение f(x)= 0,

где f(x) - функция непрерывная на отрезке [a; b] и дифференцируемая на интервале ]a; b[, т.е. включая и граничные значения.

Всякое число с, принадлежащее отрезку [a; b], такое, что f(c)= 0, называется корнем уравнения на отрезке [a; b].

Процесс нахождения корней уравнения состоит из двух этапов:

1)отделения корней;

2) уточнения значения корней с заданной точностью h.

Отделением корней уравнения называется процесс выделения из области определения функции f(х) отрез­ков [ a_i; b_i ], в каждом из которых содержится один, и только один, корень уравнения f(x) =0.

Под уточнением значения корня с заданной точностью понимают сужение границ отрезка отделения корня [ a_i; b _i] до длины, не превосходящей заданной точности h.

Рассмотрим пример решения задачи графическим методом.

Пример 9.4.11. Пусть дано уравнение

х³ - Зх - 0,4 = 0.

Требуется отделить корни уравнения.

Задача может быть решена графически и аналитически, а также численными методами.

Отделение корней уравнения графически.

Решение. Запишем уравнение в виде:

х³ = 3x + 0,4

и построим графики функций у = х³ и у = Зх + 0,4 (рис. 9.4.6). Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут корнями исходного уравнения. Из рисунка следует, что исходное уравнение имеет три действительных корня: с₁ — на отрезке [-2; -1]; c₂ — на отрезке [-1; 0]; c₃ — на отрезке [1; 2].

При графическом отделении корней уравнения результат зависит от точности построения графиков.

Отделение корней аналитически.

В основе аналитического метода лежит утверждение: если функция f непрерывна на отрезке [а; b] и принимает на концах этого отрезка значения противоположных знаков, то внутри отрезка сущес­твует корень уравнения и при том единственный, если производная на интервале ]а, b[ сохраняет постоянный знак.

Границами интервалов знакопостоянства производной от функции являются ее критические точки (точки минимумов и максимумов), в критических точках производная обращается в ноль. На каждом таком интервале будет находиться только один корень, если значения функции на концах интервала имеют противоположные знаки. В качестве границ интервалов знакопостоянства функции кроме критических точек необходимо рассматривать также и границы отрезка.

Для отделения корней используется следующая схема:

1. Найти производную f’.

f’ (х) = (х³- Зх- 0,4) = 3х² - 3 = 3(х² –1) = 3(х + 1)(х –1).

2. Найти критические точки функции: -1, +1

3. Составить таблицу знаков функции f: на границах отрезка [а; b] и в критических точках:

x	-2	-1	+1	+2
f(x)	-	+	-	+

4. Определить отрезки, на концах которых функция принимает значения противоположных знаков.

Уравнение имеет три корня, так как происходит три перемены знака функции f: C₁ [-2, -1]; C₂ [ -1; 1];C₃[1; 2].

Таким образом, корень находится в интервалах, определяемых пунктом 4. При решении задач необходимо также проверять, не являются ли корнем также и критические точки.

Отделение корней численными методами.

Процедура отделения корней уравнения численными методами сводится к табулированию функции на заданном отрезке с некоторым шагом h и проверке на каждом шаге условия знакопостоянства функции. Если на границах элементарного отрезка h значения функции y1=f(x) и y2=f(x+h) имеют одинаковый знак, то корня на этом отрезке нет, если y1 и y2 имеют разные знаки, то на отрезке [x, x+h] имеется корень. Для проверки знакопостоянства функции на отрезке [x, x+h] достаточно проверить условие y1*y2<0. Если условие выполняется, то это означает, что на данном отрезке есть корень, в противном случае делается вывод об отсутствии корня на отрезке [x, x+h].

Дата добавления: 2014-01-06