Эйлеровы циклы

Задача о Кёнигсбергских мостах.

По Кёнигсбергу протекает река Прегель, образующая два острова, связанных между собой и с берегами семью мостами. Надо разработать такой замкнутый маршрут, в котором каждый из мостов проходится один раз.

Рис. 61. Задача о Кёнигсбергских мостах

Эта задача была решена Эйлером в 1736 г.

Задача сводится к построению циклического графа с 4 вершинами и 7 ребрами так, чтобы каждое ребро входило в него по одному разу.

Аналогична задача о рисовании конвертов, не отрывая карандаша и не рисуя дважды одну линию.

Рис.62. Закрытый и открытый конверты

Если граф имеет цепь (цикл), соединяющую две вершины и содержащую все ребра графа по одному разу, то цепь (цикл) называется эйлеровой, а сам граф называется эйлеровым.

Теорема.

Для того чтобы граф бы эйлеровым, необходимо и достаточно, чтобы число вершин, степень которых нечетна, равнялось 0 или 2.

Доказательство:

Необходимость:

Пусть граф эйлеров, то есть существует или эйлерова цепь, или эйлеров цикл. И пусть имеется одна вершина с нечетной степенью, не являющаяся ни начальной, ни конечной, степень которой равна 2 п +1. Тогда 2 п +1 - е ребро приведет нас в эту вершину п + 1-й раз, и покинуть её мы не сможем. Следовательно, такими вершинами могут быть только начальная и конечная. Их две в случае наличия цепи и 0 в случае цикла.

А В

Рис.63. Начальная и конечная точка цепи

Достаточность

Пусть имеется две вершины с нечетной степенью. Выйдя из вершины А, мы попадем в вершины, из которых всегда можно выйти. Таким образом, все ребра, инцидентные вершинам с четной степенью, будут пройдены, и мы придем к вершине В. Мы можем выйти, затем войти, но опять выйти уже не сможем. Таким образом, между А и В существует эйлерова цепь.

Докажем существование эйлерова цикла для вершины А:

Пусть эйлеров цикл существует для некоторых q ребер. Докажем, что он существует для q > q. Так как для любого q<q существует эйлеров цикл, а каждая вершина имеет четную степень, то существует вершина, принадлежащая обоим циклам (уже пройденному и еще нет, ребра которого не входят в 1 - ый цикл). Объединяя эти циклы, получим эйлеров цикл.

Рис.64. Образование эйлеровоого цикла

Таким образом, из теоремы Эйлера следует, что задача о Кёнигсбергских мостах и о рисовании закрытого конверта решений не имеют, т.к. вершин нечетной степени больше двух. Задача об открытом конверте решение имеет. Построение его следует начинать из вершины нечетной степени.

Дата добавления: 2014-01-06