Расчет плоских пружин при больших перемещениях

Решение.

Расчет плоских пружин в области малых перемещений.

Теория изгиба стержней основана на зависимости:

где - изменение кривизны оси стержня,

- изгибающий момент,

- жесткость,

- жесткость стержня на изгиб,

- модуль упругости,

- момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси.

Если сечение вытянуто вдоль оси, то вместо надо подставить, где - коэффициент Пуассона.

Выражение справедливо как при малых, так и при больших перемещениях в пределах упругости деформаций.

Наибольшее напряжение:

,

где - наибольший изгибающий момент,

- момент сопротивления сечения.

Прямоугольное сечение:

;.

Круглое сечение:

;.

Для определения прогиба стержня в области малых перемещений удобно пользоваться интегралом Мора, если ось стержня криволинейна; и правилом Верещагина, если ось стержень прямолинеен (ось стержня прямолинейна).

Для более точного определения значений перемещений при продольно-поперечном изгибе, необходимо проинтегрировать дифференциальное уравнение изогнуто (изогнутой) оси стержня. Если принять (что справедливо для малых перемещений), то из уравнения можно получить:

,

где - прогиб произвольной точки стержня.

Пример 1.

Решение.

Задача решается с помощью правила Верещагина.

- изгибающий момент от силы, - изгибающий момент от единичной силы.

Прогиб определяется перемножением эпюр и по правилу Верещагина:

где - площадь эпюры,

- ордината на эпюре, расположенная под центром тяжести площади эпюры.

Перемножаем по участкам:

; ()

.

Если, то:

Это соответствует нагружению на конце стержня, как это часто бывает.

Пример 2.

Необходимо определить угол поворота.

Прикладываем единичный момент.

Участок I:;.

Участок II:;.

Угол поворота можно найти с помощью интеграла Мора:

,

где - длина элемента пружины.

Участок I:.

Участок II:.

.

При проектировании решается обратная задача, то есть необходимо подобрать параметры и геометрию стержня.

1) Выбор материалов. Исходя из условия работы назначения плоской пружины,(не было запятой) выбирается материал, у которого основными свойствами являются прочность и гибкость.

2) Определение геометрических параметров.

Задается соотношение. По заданным, и выбранному материалу определяется:

.

По формуле:

;

.

Следовательно, получается:

.

Результат решения задачи проектирования неоднозначен, так как заданным условиям могут удовлетворять пружины с различным соотношением.

Пружина должна удовлетворять:

- условиям по габаритам;

- условиям технологичности;

- условиям жесткости в боковом направлении.

Плоская пружина при изгибе может получать перемещение, соизмеримое с длиной пружины. Если толщина пружины мала, то деформации могут оставаться малыми. А напряжения не будут превышать.

;.

При больших перемещениях, в отличие от малых, неприменимы принцип неизменности начальных размеров и принцип независимости действия сил.

Дифференциальное уравнение упругой линии справедливо только в области малых перемещений.

Необходимо использовать точную формулу:

.

Общий метод решения задач об упругом изгибе стержня при больших перемещениях предложен Е.П. Поповым.

Вопросами статики и динамики гибких стержней и нитей посвящена книга В.А. Светлицкого «Механика гибких стержней и нитей».

Необходимо ввести понятие «основного класса».

Стержень может быть отнесен к основному классу, если он находится в условиях основного класса. К таким условиям относятся следующие условия:

1) Стержень нагружен только по концам сосредоточенной нагрузкой (в виде силы или момента), см.рис.

2) Начальная геометрия стержня описывается прямой или дугой окружности.

3) Изгибная жесткость стержня постоянна.

Следует отметить, что к основному классу можно привести и стержни, у которых нагрузка приложена в промежуточных точках, а жесткость или кривизна изменяется ступенчато.

Стержни с плавно меняющейся жесткостью или кривизной, а также нагруженные распределенной нагрузкой, не относятся к основному классу. Решение таких задач также дано в работе Е.П. Попова. Основной принцип таков: стержни разбивают на множество малых участков, каждый из которых находится в условиях основного класса.

Дата добавления: 2014-01-06