Гофрированные мембраны

Гофрированные мембраны применяются значительно чаще плоских. Свойства гофрированной мембраны во многом зависят от ее профиля – образующей срединной поверхности. В зависимости от формы профиля упругая характеристика мембраны может быть линейной, затухающей или возрастающей по давлению. В этом отношении гофрированные мембраны имеют преимущество перед другими типами манометрических упругих элементов (сильфонов, трубчатых пружин), упругие характеристики которых близки к линейным. С помощью гофрированных мембран можно решать задачи измерения величин, нелинейно связанных с давлением (например, расходы жидкости и газа, скорости полета самолета, высота подъема самолета). Можно подобрать характеристику, линейную по измеряемой величине.

Авиационный высотомер:

К центральной части мембраны прикрепляют жесткий центр. Профили гофров могут быть самыми различными: пильчатый профиль, трапецеидальный, синусоидальный.

Ниже показаны наиболее часто встречающиеся профили гофрированных мембран.

Наиболее удаленная от центра волна гофрировки (краевой гофр) часто имеет форму, отличную от остальных волн.

а) мелкий пильчатый профиль. Прост в изготовлении, устойчив к небольшим перегрузкам. Применяется в приборах, где требуется затухающая по давлению упругая характеристика (расходомеры, высотомеры, указатели скорости).

б) глубокий пильчатый профиль. Изготавливается труднее, так как возможно появление разрывов на вершинах и впадинах, где имеет место концентрация напряжений. Поэтому чаще встречается трапецеидальный и синусоидальный профиль («в» и «г»). (ни с чем не согласовано)

в) изготовление мембраны синусоидального или другого профиля плавных очертаний требует более сложного инструмента, однако такие профили предпочитают другим при изготовлении мембран из толстого материала.

д) (должно быть г)) Тонкая плоская мембрана с небольшими гофрами весьма чувствительная мембрана. Находит применение при измерении низких давлений (может выдержать значительные перегрузки) со стороны гофров.

При росте давления гофры распрямляются, начальная плоскость мембраны удлиняется, и характеристика мембраны затухает.

Чем мельче гофры, тем сильнее проявляется затухание.

Обозначения: - глубина гофрировки, - число волн.

Иногда применяют предварительное напряжение, в этом случае жесткость мембраны увеличивается. Если мембрану сжать, то ее жесткость будет падать. Очень резко меняется характеристика мембраны, если ей придать начальную выпуклость (форму сферы или конуса).

Ниже представлено влияние глубины гофрировки на характеристику мембран при разном числе гофров.

Расчет гофрированной мембраны как анизотропной пластины
(конструктивно-анизотропная оболочка).

Если вырезать из гофрированной мембраны элемент конечных размеров, то при изгибе и растяжении этого элемента в радиальном направлении его жесткость окажется существенно меньше, чем при изгибе или растяжении в окружном направлении. Это позволяет выбрать расчетную схему гофрированной мембраны в виде плоской анизотропной мембраны.

Определение приведенных коэффициентов анизотропии.

Упругие коэффициенты анизотропного материала определяют из равенства жесткостей на растяжение и на изгиб анизотропной соответствующим жесткостям гофрированной мембраны. При этом толщину анизотропной мембраны принимают равной толщине гофрированной мембраны.

Здесь - глубина гофра, - толщина, - размер.

Пусть.

Обозначим через и упругие коэффициенты, характеризующие жесткость материала анизотропной мембраны на растяжение в радиальном и окружном направлениях; через и - упругие коэффициенты, характеризующие изгибную жесткость анизотропной мембраны в тех же направлениях.

Жесткость на растяжение в радиальном направлении гофрированной мембраны значительно меньше, чем жесткость плоской изотропной мембраны, а жесткость при изгибе в том же направлении отличается незначительно. Поэтому верно неравенство. Точно так же и в окружном направлении упругие коэффициенты, связанные с изгибом и растяжением, будут различными, т.е.. Таким образом, материал эквивалентной плоской мембраны должен обладать двойной анизотропией: в одном и том же направлении модули упругости материала при растяжении и изгибе должны быть различными.

Модули упругости анизотропного материала эквивалентной мембраны можно представить в виде:

;;

;.

Коэффициенты, их можно определить, приравняв жесткости полосок, одинаковым образом выделенных из гофрированной и плоской анизотропной мембран.

Определим модуль упругости при растяжении в радиальном направлении. Для этого вырежем вдоль радиуса гофрированной и анизотропной мембран полоски и приравняем их удлинения под действием одинаковых сил.

Удлинение гофрированной полоски можно найти с помощью интеграла Мора:

.

Здесь - модуль Юнга материала мембраны;

- момент инерции поперечного сечения полоски;

- площадь поперечного сечения;

- ширина полоски;

- толщина стенки;

- длина гофрированной полоски, равная длине дуги одной волны профиля мембраны.

Второй интеграл, учитывающий деформации растяжения, будет тем меньше по сравнению с первым, чем глубже гофрировка. При пологой гофрировке второй интеграл становится соизмеримым с первым, поэтому его становится необходимо учитывать.

Изгибающие моменты и нормальные силы от заданной и единичной нагрузок следующие:

;

;

;

.

Тогда:

,

где - угол наклона касательной в произвольной точке.

Для анизотропной полоски выражение для удлинения имеет следующий вид:

.

Приравняв правые части двух последних выражений, можно найти коэффициент:

,

где - длина волны профиля гофрированной мембраны.

Приравняв правые части двух последних выражений, найдем коэффициент:

где - длина волны профиля гофрированной мембраны. (повторение выше сказанного)

Коэффициент характеризует жесткость на растяжение в радиальном направлении и показывает, во сколько раз уменьшается жесткость прямой полоски, если на нее нанести волны гофрировки.

Аналогично в окружном направлении имеем:

;

.

Откуда, приравняв правые части двух последних выражений, найдем коэффициент:

.

Далее определим коэффициенты и, характеризующие изгибные жесткости в радиальном и окружном направлениях соответственно.

Для гофрированной полоски, вырезанной в радиальном направлении, приравняем взаимные углы поворота сечения:

;

;

.

Далее приравняем взаимные углы поворота концевых сечений полосок, вырезанных в окружном направлении:

;

;

.

Здесь - момент инерции сечения плоской полосы;

- момент инерции поперечного сечения гофрированной полоски относительно радиуса.

Для, рассматривая момент инерции бесконечно малого элемента сечения гофрированной полоски относительно оси, можно получить следующее выражение:

.

Тогда для имеем:

.

Из полученных выражений следует, что найденные коэффициенты попарно равны:

;

.

Отметим, что коэффициенты и зависят только от геометрии профиля гофрированной мембраны и ее толщины, причем коэффициент немного больше единицы. Коэффициент, равный отношению моментов инерции осевого сечения гофрированной и плоской мембран относительно радиуса, быстро возрастает с увеличением глубины гофрировки и может быть значительно больше единицы.

Итак, мы свели задачу о гофрированной мембране к эквивалентной задаче в жесткостном смысле, однако расчет на прочность по такой схеме провести нельзя, так как получим разное распределение напряжений для гофрированной и анизотропной мембраны. Таким образом, данная методика позволяет, заменив гофрированную мембрану на анизотропную (анизотропной), производить расчет на жесткость, причем, (не было запятой) чем больше гофров будет содержать мембрана, тем точнее будет получаемый результат.

Уравнения больших прогибов плоской анизотропной мембраны имеют вид:

;

,

где и - текущий и полный радиус мембраны соответственно;

,;

- давление на мембрану;

- толщина мембраны;

- модуль Юнга материала мембраны;

- коэффициент Пуассона;

- цилиндрическая жесткость;

- изменение угла поворота нормали (в нашем случае равное углу поворота:, так как - мал);

- безразмерный параметр;

- функция радиального усилия.

Если гофры на мембране отсутствуют, то коэффициенты приведения, и тогда приведенные выше уравнения совпадут с известными уравнениями плоской изотропной мембраны в больших перемещениях.

Нелинейные задачи больших прогибов плоской анизотропной мембраны легко решить каким-либо численным методом, но при этом не будут получены формулы для расчета гофрированных мембран в простейшей аналитической форме. Аналитическое решение можно получить для двух случаев: случая поведения мембраны как абсолютно гибкой, когда увеличение прогибов происходит в результате растяжения мембраны, и в области малых прогибов, когда мембрана работает на изгиб, а ее срединная плоскость почти не удлиняется. Зная эти два решения в простейшей аналитической форме можно воспользоваться методом наложения.

Основная идея метода наложения заключается в том, что сопротивление мембраны внешней нагрузке рассматривается как сумма сопротивления изгибу и растяжению. Сопротивление мембраны изгибу определяется по линейной теории, а сопротивление растяжению – из расчета абсолютно гибкой мембраны. Искомое решение при произвольном прогибе определяется так называемым «наложением» этих двух решений, то есть, (не было запятой) приравниваем суммы сопротивлений мембраны на изгиб и на растяжение внешней нагрузкой:

,

где,.

Первый, линейный, член соответствует сопротивлению эквивалентной анизотропной мембраны, и может быть найден из решения линейной задачи.

Кубический член соответствует сопротивлению мембраны растяжению. Для его определения нужно рассмотреть задачу о деформациях абсолютно гибкой анизотропной мембраны.

Приведем решение по методу наложения для случая анизотропной мембраны, нагруженной давлением.

Уравнение в области малых прогибов получим, положив. Тогда:

,

где - коэффициент, вводимый для упрощения последующих зависимостей.

Интегрирование этого уравнения дает следующее выражение для угла поворота нормали:

;.

Граничные условия задачи позволяют определить постоянные и. В нашем случае имеем следующие граничные условия:

С учетом найденных постоянных выражение для угла поворота нормали будет выглядеть следующим образом:

.

Прогиб находится из выражения:

.

За характерное значение прогиба возьмем прогиб в центре мембраны. Тогда в безразмерной форме окончательно получаем:

,

где,.

В общем случае упругая характеристика будет иметь следующий вид:

.

Уравнения для абсолютно гибкой мембраны получим, положив. Тогда:

Согласно методу Бубнова-Галеркина, для аналитического решения этой системы необходимо задаться формой прогиба, то есть задать функцию угла поворота нормали. Если приближенно рассматривать прогиб мембраны, нагруженной давлением, в идее сферы, то получим следующее выражение для угла поворота нормали:

.

Проинтегрировав систему по методу Бубнова-Галеркина (не хватает запятой) получим следующее решение:

,

где,.

В общем случае упругая характеристика будет иметь вид:

.

Согласно методу наложения для нагруженной давлением анизотропной мембраны получим:

.

Или в общем случае:

.

Гофрированные мембраны рассчитывались в работах Л.Е. Андреевой на ЭВМ по расчетной схеме замкнутой оболочки вращения.

Результаты расчета приведены в виде номограмм.

Зависимости (см. [1], стр.271-274).

;;

;.

Дата добавления: 2014-01-06