Дискретные случайные величины

Пусть -- дискретная случайная величина на вероятностном пространстве, принимающая значения . Тогда для каждого определена вероятность

где

т.е. СВ принимает заданное значение с вероятностью . Для того, чтобы найти , нужно в алгебре выбрать все исходы эксперимента, в результате которых СВ приняла значение и объединить их в событие. Вероятность этого события и есть вероятность того, что случайная величина приняла значение .

Пример. Стохастический эксперимент-бросание двух игральных костей. Случайная величина – сумма выпавших очков на двух костях. Найти вероятность того, что выпадет 6 очков.

Пространство элементарных событий . Вероятность одного исхода (элементарного события) равна . Объединим в событие исходы, при которых выпадает суммарное число очков, равное 6:

. Тогда .

Для дискретной случайной величины закон распределения полностью определяется указанием ее значений () и вероятностей (), с которыми случайная величина принимает эти значения.

Ряд распределения СВ – таблица, в которой для каждого значения случайной величины указана вероятность его появления. В случае конечного пространства ряд распределения имеет вид

Значения случайной величины			…
Вероятности			…

где . и .

В случае счетного пространства ряд распределения может быть представлен таблицей

Значения случайной величины			…		…
Вероятности			…		…

где . и .

Ряд из вероятностей должен сходиться и иметь сумму, равную единице. В силу необходимого признака сходимости числового ряда . Поэтому ряд распределения можно оборвать на некотором значении n.

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения.

Пример. Игрок подбрасывает монету 2 раза. Если выпадает герб, то он получает 1 рубль, если выпадает решетка, то ничего не получает. Случайная величина – выигрыш игрока. Построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения и ее график.

Пространство элементарных событий . Определим события, в результате наступления которых выигрыш игрока равен нулю, единице и двум.

, , . Вероятности этих событий равны соответственно , , .

P

Здесь приведен ряд распределения и многоугольник распределения.

Функция распределения дискретной случайной величины разрывна. Ее график – ступенчатая линия, имеющая разрывы при тех значениях случайной величины, вероятность которых отлична от нуля. Величина скачка в точке разрыва равна вероятности соответствующего значения случайной величины. Для построения графика функции распределения дискретной случайной величины нужно построить таблицу накопленных вероятностей для данной случайной величины и по этой таблице построить соответствующую ступенчатую линию. В данном случае функция распределения случайной величины имеет вид

На рис. представлен график функции распределения

. Примеры дискретных случайных величин.

Биномиальное распределение. Схема Бернулли.

Пусть производятся независимые испытания и при каждом испытании может быть 2 исхода: успех с вероятностью или неудача с вероятностью , при этом ().

Примеры

1) Стрельба по цели. При каждом выстреле 2 исхода: попадание или промах.

2) Проверка наугад выбранного изделия, которое может оказаться качественным или бракованным.

3) Подбрасывание симметричной монеты.Может выпасть герб или решетка.

Построим вероятностную модель эксперимента в случае .

Пространство элементарных событий .

, , , . Поскольку испытания независимы, то вероятности элементарных исходов определяются как произведение вероятностей.

P

В качестве случайной величинырассмотрим число успехов в серии из 2 испытаний. Построим ряд распределения случайной величины

При этом , так как .

Пусть теперь опыт повторяется раз. При каждом опыте событие А (успех) происходит с вероятностью и не происходит с вероятностью , причем эти вероятности от опыта к опыту не меняются. Случайная величина – число успехов в серии из испытаний, Найдем вероятность того, что , т.е. что событие А (успех) наступит раз (а, следовательно, неуспех наступит раз).Найдем вначале, что событие А (успех) произойдет при первых опытах и не произойдет при последнихопытах. Применяя теорему умножения вероятностей, получим . Но событие А может произойти раз и в другой последовательности. Общее число всех возможных последовательностей равно . Вероятность появления события А для каждой такой последовательности равна . Вероятность появления какой либо одной из этих последовательностей найдем с помощью теоремы сложения вероятностей

, где .

Полученная формула является формулой для –го члена бинома Ньютона . Поэтому такое распределение вероятностей называется биномиальным. Впервые это распределение подробно изучил Бернулли. Поэтому стохастический эксперимент, приводящий к биномиальному распределению, называется схемой Бернулли.

Функция распределения биномиального закона имеет вид

,

где неотрицательное целое число.

Пример. Прибор состоит из четырех элементов. Вероятность отказа каждого из них равна . Найти вероятность отказа 0,1,2,3,4 элементов во время работы прибора.

Сумма всех вероятностей равна 1, так как эта сумма есть вероятность достоверного события.

Дата добавления: 2014-01-06