Примеры закончились

В случае, когда какой-либо отрезок, отсекаемый плоскостью на координатной оси, оказывается отрицательным, то знак – ставится над соответствующим индексом Миллера, например (1 1).

Если плоскость параллельна координатной оси, то отсекаемый ею отрезок равен ∞, а соответствующий индекс Миллера равен 0.

Домашка:

1. Даны отрезки, отсекаемые плоскостью: ¼, 2/3, ½. Найти индексы Миллера и построить плоскость. Ответ: (8 3 4)

2. Даны индексы Миллера: (0 0 1). Найти отрезки и построить плоскость. Ответ: ∞, ∞, 1

3. Даны отрезки ½, ∞, 2/3. Найти индексы Миллера, построить плоскость. Ответ: (4 0 3)

4. Даны индексы Миллера: (3 2 2). Найти отрезки, построить плоскость. Ответ: 2/3, 1, 1

Лекция № 4 от 14.10.2011

3.4. Элементы симметрии кристаллов

Симметричной фигурой называется фигура, которая может совместиться сама с собой в результате симметричных преобразовний.

Отражения в точке или плоскости и вращения вокруг какой-либо оси, приводящие фигуру в совмещение с самой собой, называют преобразованиями симметрии.

Воображаемые плоскости, линии и точки, с помощью которых осуществляются отражения и вращения, называют элементами симметрии.

Различают следующие основные элементы симметрии:

1. Зеркальная плоскость симметрии

2. Поворотная ось симметрии (простая и зеркальная)

3. Центр симметрии или центр инверсии

Плоскость симметрии – плоскость, которая делит фигуру на 2 части, расположенные друг относительно друга как предмет и его зеркальное отражение (как правая и левая рука) (обозначается Р).

Пример: у куба существует 3 взаимноперпендикулярные плоскости, которые делят пополам противоположные рёбра куба. У шара бесконечное число плоскостей симметрии – они проходят через диаметр.

2.а. Осью симметрии (простой или поворотной) называется линия, при повороте вокруг которой на некоторый определённый угол, фигура совмещается сама с собой.

Обозначается L_n, где n – порядок оси симметрии, показывающий сколько раз фигура совместиться сама с собой при полном обороте вокруг этой оси.

Примеры: у куба есть 3 оси четвёртого порядка, обозначается, которые проходят через центры противоположных граней; у куба 4 оси 3-го порядка, являющиеся пространственными диагоналями куба; и 6 осей 2-го порядка, проходящие через середины пар противоположных рёбер.

Соответствующие углы поворота.

2.б. Операция поворота тела вокруг неподвижной оси на угол с одновременным отражением его в плоскости, перпендикулярной к той же оси, называется зеркально-поворотным преобразованием. Если в результате такого преобразования тело переходит само в себя, то соответствующую ось называют зеркально-поворотной осью n-го порядка (обозначается S_n).

3. Если при инверсии относительно некоторой точки тело переходит само в себя, то данная точка называется центром симметрии тела. Симметричное преобразование в центре симметрии – это зеркальное отражение в точке.

Пример: треугольник ABC переходит в A’B’C’.

Под точечной группой симметрии понимают совокупность преобразований симметрии, сохраняющей неподвижной хотя бы 1 точку. Точечные группы симметрии – группы, содержащие только операции отражения, поворота и инверсии.

Кристаллы обладают точечной симметрией, а кристаллические решётки – пространственной симметрией.

Полную совокупность элементов симметрии, характеризующую симметрию объекта, называют классом симметрии.

Число классов симметрии ограничено. Полный математический анализ всех возможных комбинаций элементов симметрии, встречаемых в кристаллах показал, что из всех элементов симметрии можно образовать только 32 различных класса симметрии.

3.4.1. Пространственные группы

В пространственной решётке к рассмотренным элементам симметрии добавляется новый элемент – трансляция, которая действует не на какую-либо точку, а на решётку в целом.

Комбинация трансляции с элементами симметрии, характерными для кристаллов, дают новые элементы симметрии:

1. Поворот вокруг оси + параллельный перенос вдоль оси называется винтовой осью (бывает правый и левый).

2. Отражение в плоскости + параллельный перенос вдоль плоскости называется плоскость скользящего отражения.

Nβ: Итак, существует 5 элементов симметрии в пространственной решётке:

1. Зеркальные плоскости

2. Поворотные оси

3. Центр симметрии

4. Винтовые оси

5. Плоскости скользящего отражения

Из них можно образовать только ограниченное число пространственных групп.

Пространственная группа – полная совокупность элементов симметрии, характеризующая симметрию решётки данного кристалла.

Полный анализ, выполненный русским кристаллографом Фёдоровым, вывел 230 пространственных групп симметрии, которые определённым образом распределяются по 32 классам точечной симметрии: кубическая – 36 (пространственных групп), тетрагональная – 68, гексагональная – 67, ромбоэдрическая – 59, моноклинная – 13, триклинная – 2. Среди 230 пространственных групп, 11 пар отличаются только направлениями вращения винтовых осей.

Такие группы называются энантиоморфными.

Пример: кварц. Имеет 2 модификации: одна имеет правую винтовую ось, а другая – левую.

Пока не все группы Фёдорова найдены в природе. Для 53 групп пока не найдено ни одного кристалла.

3.5. Дифракция в кристаллах

Обычно для исследования структуры кристаллов используют дифракцию волн. Длины этих волн сравнимы с межатомными расстояниями в кристаллах (порядка 10^-8см, или 1 Å). Анализ данных, полученных дифракционными методами, позволяет определить:

1. Средние расстояния между рядами атомов и атомными плоскостями в кристалле.

2. Углы между плоскостями

3. Симметрию точечных групп

4. Координаты отдельных атомов

5. Размеры элементарной ячейки

В 1912 году Лауэ высказал предположение, что кристаллы можно рассматривать как трёхмерную дифракционную решётку для рентгеновских лучей, длина волны которых сравнима с межатомными расстояниями. В 1913 году Брэг и независимо от него российский учёный Фульф обнаружили, что кристаллические вещества дают характерные картины отражения рентгеновских лучей. Они же дали простое объяснение наблюдаемому в кристалле изменению направления лучей, испытавших дифракцию.

Рассмотрим семейство параллельных, равноотстоящих плоскостей, образованных узлами кристаллической решётки: D – межплоскостное расстояние.

При отражении падающего пучка от соседних плоскостей разность хода лучей равна, где Θ – угол падения. Излучение, отражённое от соседних плоскостей, будет при интерференции усиливаться в том случае, когда разность хода равна целому числу n длин волн λ. В итоге получаем закон:

Дата добавления: 2014-01-06