Радиальная и угловые части уравнения Шредингера

Уравнение стандартного состояния Шредингера для атома водорода. Разделение переменных.

(H)

где

Будем искать решение в виде

Тогда из уравнения (H) получим

или

Т.к. справа функция – и , а слева – радиуса r, то обе части являются константами, обозначаются λ.

Рассмотрим второе уравнение:

()

Оно представляет собой уравнение со значением функции Υ для оператора (). Такое уравнение уже решалось:

В данном случае Υ→ψ и Поэтому средними значениями для Υ являются

Таким образом, уравнение (Υ) имеет вид:

Будем искать решение этого уравнения в виде

Тогда, как было показано ранее, имеет вид:

где

Подставляя выражения для Υ и Ф в уравнение (Υ), получим уравнение для Θ

(Θ)

Решением этого уравнения является система присоединенных номиналов Лежандра:

,

Выпишем несколько первых решений

;

Важный момент среднее значение оператора не зависит от m, а соответствует функции - зависят и от ℓ, и от m.

Рассмотрим теперь радиальную часть волнового уравнения:

,

,

Средними значениями этого уравнения являются:

,

где ;

Среднее функции выражаются через полиномы Легера :

где

, …

9⁰. Энергия электрона в атоме водорода.

Отметим, что соотношение

полностью соответствует и Боровской теории атома.

Действительно, по второму постулату Бора:

- на длине окружности укладывается целое число длин волн де Бройля.

- ц.б. сила = кулоновской.

Исключая , получим

→

Численное значение

Таким образом << С. Следовательно

Следовательно

Дата добавления: 2014-01-06