Общая система уравнений

УРАВНЕНИЯ ТЕЧЕНИЯ ДЛЯ ПОРИСТОЙ СРЕДЫ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОДНОФАЗНОЙ ИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

Аналитическое и численное исследование задач связано с применением основных законов течения в дифференциальной форме. Для процессов, происходящих в нефте-газовых пластах, характерно изменение основных параметров течения во времени. Такие процессы называются неустановившимися (нестационарными). Для получения дифференциальных уравнений движения выделяется бесконечно-малый элемент и рассматриваются законы сохранения массы, количества движения и энергии за бесконечно малый промежуток времени. При этом используются экспериментальные соотношения, определяющие зависимость силы трения, пористости и т.д. от параметров течения. Число уравнений должно равняться числу неизвестных параметров, что даёт замкнутую систему.

Для подземной гидромеханики характерно изотермическое изменение параметров вследствие значительных величин удельной поверхности коллекторов и их теплоёмкости. Т.о. для таких процессов можно не рассматривать уравнение энергии и ограничиваться уравнениями балланса массы (неразрывности) и движения.

Уравнение энергии необходимо рассматривать в локальных областях призабойной зоны из-за значительных перепадов давления, проявления дроссельного эффекта, а также при применении тепловых методов повышения нефте-газоотдачи.

Для замыкания системы уравнений необходимо введение замыкающих соотношений, а именно уравнений состояния флюидов и пористой среды. Кроме того для получения однозначного решения необходимо задание граничных и начальных условий.

В большинстве случаев решение задач подземной гидродинамике требует использования численных методов и только в сильно идеализированных случаях одномерного течения удаётся получить аналитическое решение.

Для нестационарного процесса при отсутствии источников и стоков имеем:

· уравнение неразрывности

; 2.1

уравнение движения в форме Дарси

; 2.2

где р^*=р+zr`g, r u=dG / dt, G - расход массы жидкости в единицу времени через поверхность равного потенциала (массовый дебит).

В приведённой системе уравнений k=const, h=const, т.е. среда изотропна. Для анизотропной среды слоистой структуры систему координат направляют по главным осям пласта, т.е. ось z - перпендикулярна слоям, а x, y - по плоскости слоя. В такой среде чаще рассматривают фильтрацию в предельных случаях: k_z=0 и k_z=¥. При k_z=0 - нет перетока газа через слои, а при k_z=¥ - dp / dz=0, т.е. давление в каждом поперечном сечении распределяется гидростатически, а компоненты скорости, параллельные х, у, распределены равномерно по поперечному сечению потока.

Движение жидкости может быть установившимся (стационарным) и неустановивщимся (нестационарным). При установившимся движении параметры потока (плотность, скорость фильтрации, пористость и т.д.) в каждой точке пористой среды постоянны и не зависят от времени. Т.о. для установившейся фильтрации и уравнение неразрывности примет вид

, 2.3

где ;

(a) - декартовые координаты; (b) - сферические координаты; (c) - цилиндрические координаты; в сферических координатах - угол Q определяет изменение меридианного угла, а угол j - широтного.

Для несжимаемой жидкости (r=сonst) уравнение (2.3) запишется в виде

, 2.4

Дата добавления: 2014-01-06