Теорема о циркуляции вектора электростатического поля. Понятие потенциала

Электрическое поле шара, равномерно заряженного по объему.

Электрическое поле цилиндра, равномерно заряженного по объему.

Электрическое поле такого цилиндра обладает осевой симметрией, где – расстояние от оси цилиндра. Выбирая замкнутые поверхности в форме коаксильных цилиндров, по теореме Гаусса для точек вне цилиндра (– радиус цилиндра):

,

для точек внутри цилиндра:

,

где и - диэлектрические проницаемости цилиндра и окружающей среды, – высота коаксильного цилиндра.

Поле такого цилиндра описывается следующими соотношениями:

, где - линейная плотность заряда цилиндра.

Внутри цилиндра электрическое поле растет пропорционально, вне цилиндра убывает аналогично полю нити, расположенной вдоль оси цилиндра. На границе раздела испытывает разрыв.

7. Поле сферической поверхности, заряженной равномерно зарядом q. Это поле обладает сферической симметрией, т.е., где – расстояние от центра сферы. Естественно, в качестве замкнутой поверхности выбрать концентрическую сферу. Для точек вне сферы (– радиус сферы) по теореме Гаусса:

, где.

Откуда:

.

Для всех точек внутри сферы напряженность равна нулю. Зависимость представлена на рисунке. Вне сферы электрическое поле аналогично полю точечного заряда, находящегося в центре сферы.

Поле такого шара обладает сферической симметрией, где - расстояние от центра шара. Диэлектрическая проницаемость материала шара, а окружающей среды. Выбирая замкнутые поверхности в форме концентрических сфер, для точек внутри шара (– радиус шара) по теореме Гаусса:

,

а для точек вне шара:

, где.

Откуда следует:

.

Зависимость представлена на рис. Внутри шара, а вне шара.На границе раздела диэлектриков испытывает скачок (разрыв), кривая 1 соответствует значениям, кривая 2 значениям.

Лекция 4.

Из механики нам известно, что гравитационные силы являются консервативными. Работа консервативных сил по замкнутой траектории равна нулю. Учитывая аналогию между законом Кулона и законом всемирного тяготения, можно утверждать, что электрические силы также являются консервативными. Следовательно, работа электрических сил по замкнутой траектории равна нулю:

.

Так как, то:

.

Интеграл от по замкнутой траектории называется циркуляцией вектора.

Мы получили математическое выражение консервативности (потенциальности) электростатического поля: циркуляция вектора электростатического поля равна нулю. Это утверждение составляет содержание теоремы о циркуляции, физический смысл которой заключается в том, что работа по перемещению единичного электрического заряда в электростатическом поле по замкнутой траектории равна нулю.

Следствием теоремы о циркуляции является независимость работы по перемещению электрического заряда из одной точки поля в другую от формы траектории. Выделим на траектории какие-либо две точки и разобьем круговой интеграл на сумму двух интегралов:

.

Перенесем второе слагаемое в сумме в правую часть и поменяем направление интегрирования:

.

Теорема о циркуляции вектора электростатического поля позволяет сделать ряд важных выводов, не прибегая к расчетам. Например, что силовые линии электростатического поля не могут быть замкнутыми или, что невозможна следующая конфигурация электрического поля (см. рис.).

Дата добавления: 2014-01-06