Примеры

1. Заряженный металлический шар в однородном диэлектрике.

На этом примере мы выясним почему электрические силы в диэлектрике меньше чем в вакууме и рассчитаем электрическую энергию такого шара.

Напряжённость поля в диэлектрике меньше напряжённости в вакууме в раз.

Это связано с поляризацией диэлектрика и возникновением у поверхности проводника связанного заряда противоположного знака заряда проводника (см. рисунок). Связанные заряды экранируют поле свободных зарядов, уменьшая его всюду. Напряжённость электрического поля в диэлектрике, равна сумме, где - напряжённость поля свободных зарядов, - напряжённость поля связанных зарядов. Учитывая, что, находим:

→ →

→ → →

.

Поделив на площадь поверхности проводника, находим связь между поверхностной плотностью связанных зарядов и поверхностной плотностью свободных зарядов:

.

Полученное соотношение пригодно для проводника любой конфигурации в однородном диэлектрике.

Найдём энергию электрического поля шара в диэлектрике:

Здесь учтено, что, а элементарный объём с учётом сферической симметрии поля выбран в форме шарового слоя. – ёмкость шара.

2. Свободный заряд равномерно распределен по объему шара радиусом из однородного диэлектрика с проницаемостью. Определить энергию электрического поля шара.

Так как зависимость напряжённости электрического поля внутри и вне шара от расстояния до центра шара r описывается различными функциями:

вычисление энергии сводится к сумме двух интегралов:

.

Отметим, что на поверхности и в объёме диэлектрического шара возникают связанные заряды:

,,

где - объёмная плотность свободных зарядов в шаре.

Доказательство проведите самостоятельно, используя связи, и теорему Гаусса.

3. Система состоит из двух концентрических металлических оболочек радиусами и с соответствующими зарядами и. Определить полную электрическую энергию системы.

Собственная энергия каждой оболочки равны соответственно (см. пример 1.):

,,

а энергия взаимодействия оболочек:

.

Полная энергия системы равна:

.

Если оболочки заряжены одинаковыми по величине зарядами противоположного знака (сферический конденсатор), полная энергия будет равна:

где - ёмкость сферического конденсатора.

4. Плоский конденсатор заполнен двумя слоями диэлектриков толщиной с проницаемостью и. Определить ёмкость такого конденсатора.

Напряжение, приложенное к конденсатору равно:

,

где и - напряжённость электрического поля в слоях.

Электрическая индукция в слоях:

- поверхностная плотность свободных зарядов на пластинах конденсатора.

Учитывая связь из определения ёмкости, получаем:

.

Полученная формула легко обобщается на случай многослойного диэлектрика:

.

Лекция 9.

Дата добавления: 2014-01-06