Прямая и обратная задачи кинематики

Кинематическое уравнение движения

Как было указано выше в п. 1.3, характер движения точки и вид ее траектории описывают кинематическими уравнениями движения , { x (t), y (t), z (t)}, которые однозначно определяют положение материальной точки в любой момент времени t относительно выбранной системы отсчета.

При решении конкретных задач кинематики могут возникать две принципиально различные ситуации в зависимости от того, какая информация известна о движении точки.

1. Прямая задача кинематики. Известен математический вид кинематического уравнения движения. Необходимо найти кинематические характеристики и . В этом случае задача однозначно решается с помощью (1.5), (1.6), (1.14), (1.15).

2. Обратная задача кинематики. Известна одна из кинематических характеристик движения как функция времени (например, ). Необходимо определить остальные кинематические величины: и кинематическое уравнение движения . В этом случае однозначное решение задачи может быть найдено только при наличии дополнительной информации. Должны быть известны кинематические величины и в некоторый момент времени t ₀, условно принятый за начальный. Величины и называются начальными условиями задачи. Тогда с помощью (1.14) будем иметь

.

Интегрируя в пределах от t ₀ до t, получим

то есть

(1.35)

Кинематическое уравнение движения найдем на основании (1.5) с учетом (1.35)

(1.36)

В качестве примера рассмотрим решение обратной задачи о движении точки с постоянным ускорением . В этом случае из (1.32) име-

ем

, (1.37)

а из (1.36)

. (1.38)

Выводы: В кинематике встречаются два типа задач: прямая и обратная. Прямая задача имеет однозначное решение. Обратная задача для однозначности решения требует знания начальных условий.

Контрольные вопросы

1.11. Покажите, что движение с происходит в одной плоскости, а траектория точки в этой плоскости представляет ветвь параболы.

1.12. Покажите, что вращательное движение материальной точки вокруг неподвижной оси с постоянным угловым ускорением описывается кинематическими уравнениями

, (1.39)

, (1.40)

где и значения и при .

Дата добавления: 2014-01-06