КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Непрерывность функции в точке
Алгебраические действия над пределами Теоремы о пределах функций Теорема 1: Если функция в точке имеет конечный предел, то этот предел единственный. Теорема 2: Если функция в точке имеет конечный предел, то она ограничена в окрестности этой точки. Теорема 3(о стабилизации знака): Если функция в точке имеет конечный положительный предел, то она сохраняет знак в некоторой окрестности этой точки. Теорема 4(о взаимосвязи функции и ее предела): Если, то. Теорема5(о предельном переходе в неравенстве): Если, и при этом в некоторой окрестности точки выполняется неравенство, то. Теорема 6(о сжатой переменной): Если и при этом в некоторой окрестности точки выполняется неравенство, то существует предел функции в точке, причем. Теорема 7(о пределе сложной функции): Если,, то существует предел сложной функции в точке,. Теорема 1: Постоянный множитель можно выносить за знак предела. Теорема 2: Произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая. Теорема 3: Сумма, разность и произведение бесконечно малых функций есть бесконечно малая. Замечание: Теоремы о частном двух бесконечно малых функций нет. Предел отношения бесконечно малых называется неопределенностью вида, например,. Для раскрытия неопределенностей используют различные приемы, о которых будет сказано далее. Теорема 4(об алгебраических действиях над пределами): Если,, то существует в точке предел суммы, разности. Произведения и частного этих функций, причем справедливы равенства: 1.; 2.; 3.. Пусть функция определена на интервале, точка - внутрення точка этого интервала. Определение 1: Функция называется непрерывной в точке, если она: 1) определена в этой точке;
2) имеет в этой точке конечный предел; 3) значение предела равно значению функции, т.е.. Если хотя бы одно условие из 1)-3) не выполнено, то говорят, что функция имеет в точке разрыв, а точка называется точкой разрыва.
Например, на рисунке 1 функция непрерывна в точке, на рисунках 2-4 имеет разрыв в этой точке. На рисунке 2 нарушено первое условие определения 1, т.е. функция не определена в точке. На рисунке 3 нарушено второе условие, то есть функция не имеет предела в точке (предел слева не равен пределу справа). На рисунке 4 нарушено третье условие определения 1, т.е. существует конечный предел в точке, равный 1, и функция определена, но. Определение 2(по Коши, на языке): Функция называется непрерывной в точке, если для любого сколь угодно малого положительного числа можно указать положительное число такое, что для всех из области определения функции, для которых выполняется неравенство будет выполняться неравенство. С помощью кванторов это определение записывается так:. Определение 3 (по Гейне, на языке последовательностей): Функция называется непрерывной в точке, если для любой последовательности точек из области определения функции, сходящейся к, соответствующая последовательность значений функции сходится к. Разность называется приращением аргумента в точке. Соответствующая ей разность называется приращением функции в точке. При приращение, при приращение функции. Поэтому можно сформулировать еще одно определение непрерывности функции в точке. Определение 4 (на языке приращений): Функция называется непрерывной в точке, если малому приращению аргумента в этой точке соответствует малое приращение функции. С помощью символа предела это определение можно записать так:. Замечание: Для вычисления предела непрерывной в точке функции достаточно вычислить ее значение в этой точке, например,.
Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 1847; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |