Функция обычной когерентности

Спектральный анализ идеальной системы

Теорема 2. Спектр производной.

Теорема 1. Спектр суммы сигналов.

Спектр суммы сигналов равен сумме их спектров, т.е.

, (2.17)

где – спектр сигнала.

При дифференцировании 1-го порядка спектр сигнала умножается на комплексную переменную:

, (2.18)

где – спектр производной 1-го порядка.

Спектр производной n -го порядка находится аналогично:

. (2.19)

Рассмотрим идеальную систему с импульсной характеристикой и частотной характеристикой. На вход системы поступает реализация стационарного эргодического случайного процесса с нулевым средним значением, а на выходе после затухания переходных процессов формируется реализация стационарного процесса.

Рассчитаем произведение мгновенных значений процессов на входе и выходе системы и в два различных момента времени с использованием интеграла свертки (2.4):

. (2.20)

Выполнив операцию усреднения над обеими частями равенства (2.20)

,

получим соотношение для взаимной ковариационной функции входного и выходного процессов в системе:

. (2.21)

Применим прямое преобразование Фурье к соотношению (2.21) и учтем выражения для спектральных плотностей (1.33), (1.35):

Аналогичные вычисления проведем и для произведения мгновенных значений выходного процесса системы в два различных момента времени:

. (2.22)

После усреднения выражения (2.22) получим

. (2.23)

Прямое преобразование Фурье над соотношением (2.23) дает

Таким образом, основные спектральные соотношения для идеальной системы, связывающие между собой спектральные плотности на входе и выходе системы, имеют вид:

(2.24)

Первое из выражений (2.24) является комплексным и называется соотношением для взаимных спектральных плотностей входного и выходного процессов системы, второе выражение – действительным и называется соотношением между спектральными плотностями входного и выходного процессов.

Выражения (2.24) справедливы и для физически измеримых односторонних спектральных плотностей:

(2.25)

Основные спектральные соотношения можно вывести и без предварительного нахождения ковариационных функций (2.21) и (2.23).

Для любой пары усеченных реализаций достаточно большой длины интеграл свертки

в результате финитного преобразования Фурье (1.48)

преобразуется в эквивалентное равенство

. (2.26)

Тогда справедливы следующие соотношения:

(2.27)

Если теперь выражения (2.27) усреднить по ансамблю реализаций, умножить на величину и устремить к бесконечности, то из соотношений (1.51) получим формулы (2.25):

Функция обычной когерентности (используются также функции частной и множественной когерентности) между процессами и представляет собой действительную величину, которая уже была определена формулой (1.47):

,

причем.

Для идеальной системы справедливо равенство.

Следовательно, в случае линейной системы с постоянными параметрами и одним входом при полном отсутствии помех функция когерентности равна единице.

С другой стороны, если процессы и совершенно не коррелированы, т.е. для всех, то функция когерентности для всех.

Если же функция когерентности принимает промежуточные между нулем и единицей значения, то практически может иметь место одна или несколько следующих возможностей:

1. в измерениях присутствует внешний шум;

2. оценки спектров мощности смещены из-за недостаточного разрешения по частоте;

3. система, преобразующая в, не линейна;

4. на выходной процесс влияют и другие входные процессы кроме.

Важное и полезное свойство функции когерентности заключается в том, что она сохраняется при линейных преобразованиях.

Предположим, что – функция когерентности между и, которую необходимо определить. Пусть – линейное преобразование, а – линейное преобразование, тогда

.

Таким образом, для измерения можно использовать наблюдения вместо и (или) наблюдения вместо, если по каким-либо причинам это проще или удобнее в конкретной задаче.

Дата добавления: 2014-01-06