Метод Эйлера. В методе Эйлера значение функции на следующем шаге вычисляется в соответствии с выражением:

В методе Эйлера значение функции на следующем шаге вычисляется в соответствии с выражением:

u(x+h)=u(x) +h*u’(x) (6.23)

Пример 6.6. Найти решение дифференциального уравнения:

при x>0 (6.24)

при х=0,2 с начальным условием u(0)=0.

Решение:

Приведем выражение (6.24) к виду выражения (6.22):

(6.25)

тогда согласно 6.23

(6.26)

Теперь для получения результата достаточно сгенерировать ряд значений аргумента х с некоторым шагом и протабулировать правую часть выражения (6.25) на отрезке от 0 до 0,2.

Для примера (6.24) известно аналитическое выражение для вычисления значения функции в произвольной точке:

, (6.27)

поэтому можно вычислить относительную погрешность вычисления по формуле

D=(u(x)_a-u(x))/u(x)_a, (6.28)

где u(x)_a – значение функции, вычисленное по аналитической формуле.

Листинг 6.18. Решение дифференциального уравнения методом Эйлера
	A	B	С	D
	x	y	Аналитика	Погрешность
		0,0000	0,0000	#ДЕЛ/0!
	0,01	0,0000	0,0000
	0,02	0,0001	0,0002	0,49664
	0,03	0,0003	0,0004	0,32885
...	...
	0,18	0,0144	0,0152	0,04918
	0,19	0,0160	0,0168	0,04624
	0,2	0,0177	0,0186	0,04359

Порядок работы:

- внесите в ячейки А6 и В6 (Листинг 6.18) начальные значения аргумента и функции;

- сгенерируйте в столбце А ряд значений аргумента от 0 до 0,2 с шагом 0,01;

- запишите в ячейку В7 правую часть формулы (6.26) со ссылками на адреса ячеек: B6+(A7-A6)*(A6-B6)/КОРЕНЬ(1+A6^2);

- запишите в ячейку C6 правую часть формулы (6.27) со ссылками на адреса ячеек: 0,5*(A6-LN(A6+КОРЕНЬ(1+A6^2))/(A6+КОРЕНЬ(1+A6^2)));

- запишите в ячейку D6 правую часть формулы (6.28) со ссылками на адреса ячеек: (C6-B6)/C6;

- скопируйте формулу из ячеек В7, С6, D6 в нижележащие ячейки.

Результаты:

Методом Эйлера: u(0,2)= 0,0177

По аналитической зависимости: u(0,2)= 0,0186

Погрешность около 4 процентов D =0,04359

Дата добавления: 2014-01-06