Вероятность противоположного события

Обозначим буквами А_1, А_2,… А_n все несовместные равновозможные исходы данного испытания. Вместе они образуют полную систему событий W.

Например, при подбрасывании игральной кости пространство W элементарных событий состоит из шести точек: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6).

Тогда сумма событий А_1, А_2,… А_n – достоверное событие, т.к. в результате опыта обязательно появится одно из событий А_1, А_2,… А_n (так, в нашем примере в результате бросания игральной кости обязательно выпадет число от 1 до 6), а вероятность достоверного события по свойствам вероятности равна 1. Следовательно, Р (А₁+А₂+…+А_n) = 1.

Так как события А_1, А_2,… А_n попарно несовместны, то по теореме 2 их сумму можно представить как Р (А₁) + Р (А₂) +…+ Р(А_n), тогда

Р (А₁) + Р (А₂) +…+ Р(А_n) = 1

Рассмотрим теперь противоположные события А и Ā. В сумме они образуют полную систему событий (А + Ā = Ω), следовательно сумма их вероятностей также равна 1:

Следствие 1. Сумма вероятностей события А и события, ему противоположного, равна 1:

Р(А) + Р(Ā) = 1.

Тогда для нахождении вероятности события А можно использовать формулу:

Р(А)= 1 - Р(Ā)

и Р(Ā) = 1 - Р(А).

Пример 13.1. Вероятность бесперебойной работы компьютера равно 0,9. Какова вероятность того, что при работе компьютер даст сбой?

Решение. Событие А - бесперебойная работа компьютера, тогда противоположное ему событие Ā - при работе компьютер даст сбой. По формуле Р(Ā)= 1 - Р(А), где Р(А) = 0,9.

Тогда Р(Ā)= 1 – 0,9 = 0,1.

Ответ: Р(Ā) =0,1.

При решении задач бывает удобно пользоваться следующим фактом:

Следствие 2. Вероятность появления хотя бы одного из исходов равна разности между 1 и противоположным событием (ни одного из исходов).

Пример 13.2. Студент хранит собранную для дипломной работы информацию на 7 дисках, на четырех из которых есть статьи о новых информационных технологиях. Какова вероятность того, что хотя бы на одном из трех наудачу выбранных дисков есть статьи о новых информационных технологиях?

Решение. Испытание – выбор наудачу одного диска из трёх (на четырех есть статьи о новых информационных технологиях).

Пусть событие А - хотя бы на одном из выбранных дисков есть статьи о новых информационных технологиях. Если мы будем решать задачу, пользуясь правилом сложения, нам придется найти сумму следующих событий:

· на одном из трех наудачу выбранных дисков есть нужные статьи;

· на двух есть нужные статьи;

· на трех есть нужные статьи.

Мы же решим задачу, пользуясь следствием 2. Найдем противоположное событие Ā – ни на одном из трех наудачу выбранных дисков нет статей о новых информационных технологиях.

Найдем вероятность события Ā по классической формуле вероятности:. Для этого надо знать m и n.

Наше испытание заключается в выборе трех дисков из семи. Следовательно, n – число всех возможных исходов - равно числу выборок из 7 по 3. Порядок в каждой выборке не важен, и мы имеем дело с сочетаниями.

Событие Ā заключается в том, чтобы ни на одном из трех наудачу выбранных дисков не было статей о новых информационных технологиях, а таких дисков 7 – 4 = 3, значит, число благоприятных исходов m равно =1. Тогда. По формуле Р(А) = 1 - Р(Ā), тогда Р(А)= 1 –.

Следовательно, вероятность того, что хотя бы на одном из трех наудачу выбранных дисков есть статьи о новых информационных технологиях, равна.

Ответ: Р (А) =

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте теорему о вероятности противоположного события.

2. Как при решении задач найти вероятность появления хотя бы одного исхода данного испытания?

3. Решите задачу, используя теоремы сложения вероятностей: В партии из 12 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых трех деталей есть хотя бы одна стандартная.

Дата добавления: 2014-01-06