Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пример 15.1. На заводе, изготовляющем болты, первая машина производит 25%, вторая – 35%, третья – 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный?

Решение. Пусть событие А - выбрать дефектный болт.

Мы не знаем точно, какая машина произвела дефектный болт. Выдвигаем три гипотезы:

Н ₁ - болт изготовлен первой машиной, Р (Н ₁)=0,25 (т.к. первая машина производит 25% продукции);

Н ₂ - болт изготовлен второй машиной, Р (Н ₂)=0,35;

Н ₃ - болт изготовлен третьей машиной, Р (Н ₃)=0,4.

В задаче нас просят найти вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный. Запишем вероятности брака для каждой машины.

Р (А/Н ₁)=0,05 (вероятность того, что выбрали дефектный болт при условии, что он сделан на первой машине);

Р (А/Н ₂)=0,04 (вероятность того, что выбрали дефектный болт при условии, что он сделан на второй машине);

Р (А/Н ₃)=0,02 (вероятность того, что выбрали дефектный болт при условии, что он сделан на третьей машине).

Проиллюстрируем решение задачи на графе:

Тогда вероятность события А находится как «вес» всего вероятностного графа:

Р (А) = 0,25ּ0,05 + 0,35ּ0,04 + 0,4ּ0,02 = 0,0345.

Ответ: Р (А) = 0,0345.

Итак, пусть А – событие, которое может наступить только при появлении одной из гипотез Н ₁, Н ₂, …, Н_n, где n гипотез образуют полную систему событий. Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

Р(А)=Р(Н₁)Р(А/Н₁)+ Р(Н₂)Р(А/Н₂)+…+ Р(Н_n)Р(А/Н_n),

где Р(Нi) – вероятность гипотезы Н_i, P(A/Hi) – условная вероятность события А при выполнении гипотезы H_i (i = 1, 2, …, n).

Проиллюстрируем формулу полной вероятности на графе:

Полная вероятность события А равна «весу» всего вероятностного графа с гипотезами.

С формулой полной вероятности тесно связана формула Байеса. Формула Байеса позволяет найти вероятность того, что произошла та или иная гипотеза по результатам уже проведенного испытания. В этом случае вероятность каждой гипотезы находится по формуле:

- формула Байеса

где Р(А)=Р(Н₁)Р(А/Н₁)+ Р(Н₂)Р(А/Н₂)+…+ Р(Н_n)Р(А/Н_n).

С точки зрения графов словная вероятность P(H_k/A) может находиться как отношение «веса» ветви, проходящей через гипотезу H_k, к «весу» всего вероятностного графа.

Изменим Пример 15.1. На заводе, изготовляющем болты, первая машина производит 25%, вторая – 35%, третья – 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2%. Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он был произведен первой, второй, третьей машиной?

Решение. В данной задаче мы видим, что событие А уже произошло, т.е. дефектный болт уже извлечен. Нужно найти вероятность осуществления трех возможных гипотез: что он был произведен первой (Н ₁/ А), второй (Н ₂/ А), третьей (Н ₃/ А) машиной. В этом случае применяем формулу Байеса:

Ответ:

Пример 15.2. Предположим, что 5 мужчин из 100 и 25 женщин из 10000 являются дальтониками. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина?

Решение. Пусть событие Д – выбрать дальтоника.

Этого человека выбирали наугад, он может быть или мужчиной, или женщиной. Следовательно, появляются две гипотезы:

М – выбрать мужчину,

Ж – выбрать женщину.

Р(М) =, Р(Ж) =, т.к. выбирали наугад, а по статистике число женщин приближённо равно числу мужчин.

Р(Д/М)= 0,05 (т.к. 5 мужчин из 100 страдают дальтонизмом), Р(Д/Ж)= 0,0025 (т.к. 25 женщин из 10000 являются дальтониками). Составим граф:

В нашем примере событие Д уже произошло – выбрали дальтоника. Нужно найти вероятность гипотезы о том, что это – мужчина. Следовательно, пользуемся формулой Байеса:

Ответ:

Контрольные вопросы:

1. Проанализируйте, в каких ситуациях используется формула полной вероятности? Приведите данную формулу. Как её интерпретировать с точки зрения теории графов?

2. Проанализируйте, в каких ситуациях используется формула Байеса? Приведите данную формулу. Как её интерпретировать с точки зрения теории графов?

3. Решите задачу: Фермер может получить трактор с одного из трех тракторных заводов. Вероятность того, что трактор изготовлен на первом заводе, равна 0,3, на втором – 0,5, на третьем – 0,2. Вероятность изготовления первым заводом трактора отличного качества равна 0,85, вторым – 0,75 и третьим – 0.7. Найдите вероятность того, что полученный фермером трактор будет отличного качества.

Дата добавления: 2014-01-06