Свойства функции распределения

1). Значения функции распределения принадлежат отрезку :

Это свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть число неотрицательное, не превышающее единицы.

2). - функция неубывающая, т.е. если

Доказательство. Пусть Событие, состоящее в том, что , можно представить в виде двух событий: 1) с вероятностью 2) , с вероятностью . По теореме сложения вероятностей имеем

.

Отсюда

Или . (*)

Так как любая вероятность есть число неотрицательное, то

или что и требовалось доказать.

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале , равна приращению функции распределения на этом интервале: (**)

Это важное следствие вытекает из формулы (*) при

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, равна нулю.

Положив в формуле (**) имеем

Разность при

3) Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то: 1) при ; 2) при

Доказательство. 1) Пусть Тогда событие невозможно, т.к. значений, меньших , величина по условию не принимает, и, следовательно вероятность его равна нулю.

2) Пусть Тогда событие достоверно, т.к. все возможные значения меньше , и, следовательно, вероятность его равно единице (входят в интервал ).

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на оси , то справедливы следующие предельные соотношения:

Дата добавления: 2014-01-06