Числовые хактеристики систем двух случайных величин. Корреляуционный момент. Коэффициент корреляции

Для описания системы двух случайных величин кроме математических

ожиданий и дисперсий составляющих используют и другие характеристики;

к их числу относятся корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционным моментом случайных величин и называют

математическое ожидание произведения отклонений эти величин:

,

а для непрерывных величин – формулу

Корреляционный момент служит для характеристики связи между

величинами и . Будет показано, что корреляционный момент равен

нулю, если и независимы; следовательно, если корреляционный

момент не равен нулю, то и - зависимые случайные величины.

Замечание. Легко убедиться, что корреляционный момент можно записать в виде

.

Теорема 1. Корреляционный момент двух независимых случайных величин

и равен нулю.

Доказательство. Так как и независимые случайные величины, то и их отклонения и также независимы. Находим математическое ожидание произведения отклонений, равное произведению математических ожиданий отклонений:

т.к. математические ожидания отклонений равны нулю.

Из определения корреляционного момента следует, что он имеет размерность, равную произведению размерностей величин и . По этой причине для одних и тех же двух величин величина корреляционного момента имеет различные значения в зависимости от того, в каких единицах были измерены величины.

Например, если и были измерены в сантиметрах и ; если измерить и в миллиметрах, то . Чтобы устранить этот недостаток вводят новую числовую характеристику – коэффициент корреляции.

Коэффициентом корреляции случайных величин и называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

- величина безразмерная, т.е. не зависит от выбора единиц измерения случайных величин. Это и есть преимущество коэффициента корреляции перед корреляционным моментом.

Очевидно, что коэффициент корреляции независимых случайных величин равен нулю, т.к.

Теорема 2. Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин и не превышает среднего геометрического их дисперсий:

Доказательство. Введем в рассмотрение случайную величину и найдем ее дисперсию

.

Выполнив выкладки, получим

Принимая, что любая дисперсия неотрицательна, т.е.

Отсюда

(*)

Введя в рассмотрение случайную величину аналогично найдем

(**)

Объединяя формулы (*) и (**), получим

(***)

Или .

Теорема 3. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы:

Доказательство. Разделим обе части двойного неравенства (***) на произведение положительных чисел и получим:

, т.е.

Дата добавления: 2014-01-06