Связь между гладкостью функции и периодом малости коэффициентов Фурье

Лекция 2.

Теорема. Пусть функция определена на отрезке , разлагается на нем в тригонометрический ряд Фурье и непрерывна на нем вместе со своими производными до p –1 порядка включительно. Пусть Если p –ая производная функции кусочно непрерывна на интервале , то коэффициенты Фурье - бесконечно малые функции по отношению к .

Доказательство.

.

Здесь - коэффициенты Фурье для функции .

Продолжая аналогично интегрирование по частям, получим

. Из этих соотношений следует

Из этого соотношения или непосредственно можно получить аналогичное соотношение для .

Поэтому , где или - n –ый коэффициент Фурье.

По следствию из равенства Парсеваля для коэффициентов Фурье самой функции и ее производных.. Следовательно, _0. Теорема доказана.

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию и построить график суммы ряда .

Продолжим заданную функцию периодически на всю ось. Тогда функция будет иметь разрывы первого рода в точках . В этих точках функция будет принимать значение , равное, по теореме Дирихле, полу сумме левого и правого пределов функции . В остальных точках значения функций и будут совпадать.

Вычислим коэффициенты Фурье.

,

.

. Проверьте, выполнив интегрирование по частям.

Из таких разложений часто можно получать суммы числовых рядов.

Например, подставим в разложение , получим

.

Подставим в разложение , получим

.

Дата добавления: 2014-01-06