Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части

Читайте также:
  1. I . Функции профессионализации II . Функции профессионализма
  2. А. Арифметические функции.
  3. Активационные функции
  4. Алгоритм табулирования функции
  5. Анатомические основы глазодвигательной функции.
  6. Архитектура ОС. Ядро и его функции
  7. Банки и банковская деятельность. Функции и роль центрального банка
  8. Банки: их виды и функции.
  9. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми
  10. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми
  11. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми
  12. Бесконечно малые функции.

Пусть задана функция , требуется определить, может ли она быть действительной частью некоторой аналитической функции ,а если может, то восстановить эту функцию.

Та же задача может быть поставлена относительно мнимой части. Пусть задана функция , требуется определить, может ли она быть мнимой частью некоторой аналитической функции ,а если может, то восстановить эту функцию.

При решении этих задач сначала надо проверить, существует ли такая аналитическая функция .

Справедлива теорема.Действительная и мнимая части аналитической функции есть функции гармонические (т.е. удовлетворяют уравнению Лапласа).

Доказательство. Если -функция аналитическая, то выполнены условия Коши – Римана . Дифференцируем частным образом первое равенство по x, второе по y и складываем. Получим , поэтому функция - гармоническая. Дифференцируем частным образом первое равенство по y, второе по x и вычитаем из первого равенства второе. Получим , поэтому функция - гармоническая.

 

Следовательно, если функция или функция не являются гармоническими, то аналитическую функцию построить нельзя.

 

Пусть функция и функция - гармонические функции. Покажем, как можно восстановить аналитическую функцию по известной действительной части .

Восстановление функции по аналогично.

1 способ.

Сравнивая оба выражения, определяем . Теперь .

Замечание. При восстановлении по функция восстанавливается с точностью до действительной постоянной, а не мнимой.

2 способ. (как в первом способе). Если при интегрировании второго условия Коши – Римана возникают проблемы, то можно продифференцировать полученное соотношение по x и приравнять известной функции.

. Решая это дифференциальное уравнение, получим , +С, .

3 способ. В первых двух способах функция восстанавливается как функция x, y. Гораздо приятнее получить ее в виде f(z). В третьем способе используется формула для производной . Так как функция известна, то определяется как функция (x, y). Функцию определяем по формуле

.

Пример. Задана функция =. Проверить, можно ли восстановить аналитическую функцию с такой действительной частью. Если возможно, то восстановить.

Проверьте самостоятельно, что заданная функция является гармонической.

1 способ.

.

Сравнивая эти выражения, имеем ,

. Поэтому + С i = .

2 способ.

. ,

Поэтому + С i = .

3 способ.

. Здесь С – комплексное число.

 

 

Лекция 4

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
| Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части

Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 1337; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 54.80.132.10
Генерация страницы за: 0.007 сек.