Теорема Лорана

Функция , аналитическая в круговом кольце и на его границе, разлагается в нем в сходящийся ряд Лорана.

Рассмотрим круговое кольцо , построим внутри него еще одно круговое кольцо с радиусами так, что . Рассмотрим произвольную точку во внутреннем кольце, проведем из нее, как из центра окружность радиусом так, чтобы она лежала целиком внутри внутреннего кольца. По теореме Коши для многосвязной области =+

По интегральной формуле Коши =-.

Рассмотрим отдельно каждое слагаемое.

1) В первом слагаемом повторим все выкладки из доказательства теоремы Тейлора, считая , .

.

Так как , то полученный ряд мажорируется сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессией и равномерно сходится по признаку Вейерштрасса в круге .

Функция - аналитическая на , следовательно, она непрерывна и ограничена на . То есть на .

Умножим полученный ряд на непрерывную ограниченную функцию .

. Этот ряд мажорируется сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессией и равномерно сходится по признаку Вейерштрасса в круге . Следовательно, его можно почленно интегрировать, получая сходящийся ряд.

, где коэффициенты ряда Тейлора равны

=(По следствию из теоремы Коши для многосвязной области интегрирование по можно заменить интегрированием по ).

.

2) Рассмотрим второе слагаемое, полагая , .

. Это справедливо, так как здесь .

Функция - аналитическая на , следовательно, она непрерывна и ограничена на . То есть на .

Умножим полученный ряд на непрерывную ограниченную функцию

. Этот ряд мажорируется сходящейся бесконечно

Этот ряд мажорируется сходящейся бесконечно убывающей геометрической прогрессией и равномерно сходится по признаку Вейерштрасса во внешности круга . Следовательно, его можно почленно интегрировать, получая сходящийся ряд.

, где коэффициенты ряда Тейлора равны .(По следствию из теоремы Коши для многосвязной области интегрирование по можно заменить интегрированием по ).

Складывая полученные разложения для двух слагаемых, получим разложение функции в ряд Лорана

, где коэффициенты ряда Лорана раны ..

Для коэффициентов ряда Лорана аналогично выводятся неравенства Коши .

Дата добавления: 2014-01-06