Основные теоремы о пределах

Пусть и . Тогда

1. Функция не может иметь более одного предела.

Предположим, что функция при имеет два предела и . Тогда функцию можно представить в виде:

, где и - бесконечно малые величины.

Найдём разность.

.

2. Предел алгебраической суммы конечного числа функции равен сумме пределов этих функций, т.е. /

3. Предел произведения конечного числа функции равен произведению пределов этих функций, т.е. .

4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю, т.е. , где .

5. Если и

, то

.

6. Если в некоторой окрестности точки при достаточно больших имеет место неравенство , то предел .

Замечание. В теоремах о пределах предполагается существование пределов функции и из чего делается заключение о существование пределов функции их суммы произведения или частного. Однако существование предела суммы произведения или частного конечного числа функции ещё не означает существование пределов самих этих функций.

Пример:

.

При этом

7. Если в некоторой окрестности точки функция заключена между двумя функциями и , т.е. , то функция имеет тот же предел .

Дата добавления: 2014-01-06