Многоинтервальная интерполяция

Интерполяционный полином Лагранжа

Полином в каноническом виде

Выберем в качестве аппроксимирующей функции полином степени n в каноническом виде. (7.2)

Коэффициенты полинома определяются из условий Лагранжа,, что с учетом выражения (7.2) дает систему уравнений с n+ 1 неизвестными:

. (7.3)

Систему уравнений (7.3) можно кратко записать следующим образом

(7.3’)

или в матричной форме, где с – вектор-столбец, содержащий неизвестные коэффициенты, y – вектор-столбец, составленный из табличных значений функции, а матрица A имеет вид

.

Система линейных алгебраических уравнений (7.3) относительно неизвестных будет иметь решение, если определитель системы (матрицы А) отличен от нуля. Определитель матрицы А, известный в алгебре как определитель Вандермонда, имеет аналитическое выражение:

. Из этого выражения видно, что, если среди узлов нет совпадающих. Формально решение системы уравнений (7.3) может быть записано в матричном виде:

, где – обратная матрица (, I – единичная диагональная матрица).

Пример полиномиальной интерполяции:

Задача определения интерполяционного полинома (7.2) может быть выполнена полностью аналитически, при этом для можно получить выражение в явном виде:

. (7.4)

Полином, записанный в форме (7.4) называется интерполяционным полиномом Лагранжа.

Старшая степень аргумента x в полиноме Лагранжа равна n, так как каждое произведение в формуле (3.4) содержит n сомножителей. В узлах выполняются условия Лагранжа, потому что в сумме остается по одному слагаемому, остальные обращаются в нуль за счет нулевых сомножителей в произведениях.

В отличие от интерполяционного полинома в канонической форме, для вычисления значений полинома Лагранжа не требуется предварительно определять коэффициенты полинома путем решения системы уравнений. Однако для каждого значения аргумента x полином Лагранжа приходится пересчитывать вновь, коэффициенты же канонического полинома вычисляются только один раз. Поэтому практическое применение полинома Лагранжа оправдано только в том случае, когда интерполяционная функция вычисляется в сравнительно небольшом количестве точек x.

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Пример:

В общем виде полином Лагранжа имеет вид:

Если развернуть выражение, то для N=3 получим:

Для исходных данных X,Y получим:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Как было отмечено выше, полиномиальная интерполяция не всегда дает удовлетворительные результаты. Несмотря на выполнение условий Лагранжа в узлах, интерполяционная функция может иметь значительное отклонение от аппроксимируемой кривой между узлами. С увеличением количества узлов возрастает и степень интерполяционного полинома, что может приводить к увеличению погрешности в результате возникновения так называемого явления волнистости. Для того чтобы избежать высокой степени полинома отрезок интерполяции разбивают на несколько частей и на каждом частичном интервале строят самостоятельный (локальный) полином невысокой степени.

Дата добавления: 2014-01-06