Вынужденные электромагнитные колебания

Свободные электромагнитные колебания возникают в электромагнитной системе после выведения ее из состояния равновесия, например, сообщением конденсатору заряда или изменением тока в участке цепи.

Электромагнитные колебания - взаимосвязанные колебания электрического и магнитного полей.

Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания

Электромагнитные колебания появляются в различных электрических цепях. При этом колеблются величина заряда, напряжение, сила тока, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля и другие электродинамические величины.

В электрических цепях, так же как и в механических системах, таких как груз на пружине или маятник, могут возникать свободные колебания. Простейшей электрической системой, способной совершать свободные колебания, является последовательный RLC -контур (рис. 1).

Рисунок 1. Последовательный RLC -контур

Когда ключ K находится в положении 1, конденсатор заряжается до напряжения U. После переключения ключа в положение 2 начинается процесс разрядки конденсатора через резистор R и катушку индуктивности L.

Закон Ома для замкнутой RLC -цепи, не содержащей внешнего источника тока, записывается в виде

где – напряжение на конденсаторе, q – заряд конденсатора, – ток в цепи. В правой части этого соотношения стоит ЭДС самоиндукции катушки. Если в качестве переменной величины выбрать заряд конденсатора q (t), уравнение, описывающее свободные колебания в RLC -контуре, может быть приведено к следующему виду:

Рассмотрим сначала случай, когда в контуре нет потерь электромагнитной энергии (R = 0). Тогда

(*)

Здесь принято обозначение: Уравнение (*) описывает свободные колебания в LC -контуре в отсутствие затухания. По виду оно в точности совпадает с уравнением свободных колебаний груза на пружине в отсутствие сил трения.

На рисунке приведены графики изменения заряда q (t) конденсатора и смещения x (t) груза от положения равновесия, а также графики тока J (t) и скорости груза υ (t) за один период колебаний.

Рисунок 2. Аналогия процессов свободных электрических и механических колебаний

Сравнение свободных колебаний груза на пружине и процессов в электрическом колебательном контуре позволяет сделать заключение об аналогии между электрическими и механическими величинами. Эти аналогии представлены в таблице 1.

Электрические величины	Механические величины
Заряд конденсатора	q (t)	Координата	x (t)
Ток в цепи		Скорость
Индуктивность	L	Масса	m
Величина, обратная электроемкости		Жесткость	k
Напряжение на конденсаторе		Упругая сила	kx
Энергия электрического поля конденсатора		Потенциальная энергия пружины
Магнитная энергия катушки		Кинетическая энергия
Магнитный поток	LI	Импульс	m υ

Таблица 1

В отсутствие затухания свободные колебания в электрическом контуре являются гармоническими, то есть происходят по закону

q (t) = q ₀ cos(ω t + φ₀).

Ток в цепи равен производной заряда по времени, его можно выразить

Чтобы нагляднее выразить сдвиг фаз, перейдем от косинуса к синусу

Параметры L и C колебательного контура определяют только собственную частоту свободных колебаний

Амплитуда q ₀ и начальная фаза φ₀ определяются начальными условиями, то есть тем способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия. В частности, для процесса колебаний, который начнется в контуре (рис. 1) после переключения ключа K в положение 2, q ₀ = U C, φ₀ = 0.

При свободных колебаниях происходит периодическое превращение электрической энергии W _э, запасенной в конденсаторе, в магнитную энергию W _м катушки и наоборот. Если в колебательном контуре нет потерь энергии, то полная электромагнитная энергия системы остается неизменной:

Все реальные контуры содержат электрическое сопротивление R. Процесс свободных колебаний в таком контуре уже не подчиняется гармоническому закону. За каждый период колебаний часть электромагнитной энергии, запасенной в контуре, превращается в джоулево тепло, и колебания становятся затухающими(рис. 3).

Рисунок 3. Затухающие колебания в контуре

Затухающие колебания в электрическом контуре аналогичны затухающим колебаниям груза на пружине при наличии вязкого трения, когда сила трения изменяется прямо пропорционально скорости тела: F _тр = – βυ. Коэффициент β в этой формуле аналогичен сопротивлению R электрического контура. Уравнение свободных колебаний в контуре при наличии затухания имеет вид

(**)

Физическая величина δ = R / 2 L называется коэффициентом затухания. Решением этого дифференциального уравнения является функция

которая содержит множитель exp (–δ t), описывающий затухание колебаний. Скорость затухания зависит от электрического сопротивления R контура. Интервал времени в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2,7 раза, называется временем затухания.

Добротности Q любой колебательной системы, способной совершать свободные колебания, может быть дано энергетическое определение:

Для RLC -контура добротность Q выражается формулой

Добротность электрических контуров, применяемых в радиотехнике, обычно порядка нескольких десятков и даже сотен.

Следует отметить, что собственная частота ω свободных колебаний в контуре с не очень высокой добротностью несколько меньше собственной частоты ω₀ идеального контура с теми же значениями L и C. Но при Q ≥ (5÷10) этим различием можно пренебречь.

Последовательным колебательным контуром называется электрическая цепь, состоящая из резистора R, катушки L, конденсатора C. В реальном колебательном контуре колебания являются затухающими, поскольку такой контур всегда обладает сопротивлением. В связи с этим одной из важнейших задач в практическом использовании становится компенсация потерь электромагнитной энергии. Одним из способов решения данной задачи является включение последовательно с элементами контура переменной эдс. В этом случае потери энергии компенсируются поступающей электрической энергией, а колебания уже будут вынужденными, поскольку осуществляются за счет внешней периодической электродвижущей силы:

. (1)

Простейший последовательный колебательный контур представлен на рис. 1.

Рис. 1. Схема последовательного колебательного контура

Так, сумма напряжений на отдельных элементах контура равна в каждый момент времени напряжению, приложенному извне:

(2)

Учитывая правило знаков, а также, используя закон самоиндукции, получим:

Далее учитывая, что силу тока можно определить как , где q – заряд на конденсаторе,

, можно написать:

.

где U₀ – амплитуда напряжения.

Получим дифференциальное уравнение второго порядка:

где и – соответственно коэффициент затухания контура и собственная частота колебаний контура. Частное решение данного уравнения запишем в виде:

(3)

где – амплитудное значение заряда на конденсаторе, которое можно выразить как:

, (3.1)

Продифференцировав выражение (3) по времени, найдем выражение для колебаний силы тока в установившихся колебаниях: :

(4)

Чтобы найти максимальную силу тока, воспользуемся формулой (3.1), получим:

. (5)

Дата добавления: 2014-01-06