![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Координатах – уравнения Лагранжа второго рода
Параграф 8. Уравнения движения СМТ в обобщенных Из общего уравнения динамики (соотношения (3.2), (3.3)) можно вывести дифференциальные уравнения движения СМТ в обобщенных координатах, подобно тому, как из принципа виртуальных перемещений (2.1) были выведены условия равновесия СМТ в обобщенных координатах (2.6). Используем следующую форму общего уравнения динамики:
Пусть на СМТ, имеющую m степеней свободы, наложены голономные, удерживающие и идеальные связи. Введем в рассмотрение m обобщенных координат qg (g=1,…,m) и выразим через них радиус-вектор n-й МТ аналогично тому, как это было представлено в формуле (1.13):
Варьируя это соотношение, получим:
Подставляя соотношение (3.6) в соотношение (3.5) и изменяя порядок суммирования, имеем:
Так как все
Эту систему m уравнений запишем в виде:
Правая часть соотношения (3.8) представляет собой обобщенную силу
Преобразуем выражение, входящее в левую часть соотношения (3.8) следующим образом:
Учитывая, что радиус-вектор n-й МТ зависит от времени t сложным образом, получим следующее выражение для ее скорости движения:
где Так как множители
Найдем частную производную скорости
Частная производная
Сравнивая правые части выражений (3.13) и (3.14), замечаем, что
Возвращаясь к формуле (3.10) и подставляя в нее тождества (3.12) и (3.15), получаем:
Учитывая, что
приведем последнее равенство к виду:
Кинетическая энергия СМТ (Ч. 3 Динамика) определяется формулой:
тогда (3.16) примет вид:
Подставляя выражения (3.9) и (3.17) в уравнения (3.7), получим:
Уравнения (3.18) представляют собой дифференциальные уравнения движения СМТ в обобщенных координатах. Эти уравнения называют уравнениями Лагранжа второго рода. При наличии голономных связей, наложенных на систему, число уравнений Лагранжа второго рода равно числу независимых обобщенных координат, т. е. числу степеней свободы этой голономной системы. Кинетическая энергия системы при подстановке в эти уравнения должна быть предварительно выражена как функция обобщенных скоростей Основные преимущества уравнений Лагранжа второго рода (3.18) состоят в следующем. Во-первых, они дают единый и притом достаточно простой метод решения задач динамики для любых как угодно движущихся СМТ с голономными связями. Во-вторых, число уравнений (3.18) не зависит от числа МТ, входящих в СМТ и равно числу степеней свободы системы (в машинах, механизмах и приборах обычно одна, две и редко больше двух степеней свободы). В-третьих, силы и моменты, действующие на систему, представлены здесь в виде обобщенных сил, в которые входят только активные силы и моменты, а все реакции идеальных связей автоматически исключаются из уравнений. Этими преимуществами и объясняется широкое применение уравнений Лагранжа второго рода во всех технических науках и в ряде разделов физики. Уравнениями Лагранжа второго рода можно пользоваться и в случаях, когда на систему наложены неидеальные связи, например связи с трением скольжения и качения. В этом случае силы и моменты неидеальных связей включаются в число активных сил и моментов. Запишем теперь уравнения (3.18) для консервативных голономных СМТ. В этом случае обобщенные силы
и, следовательно, уравнения (3.17) примут вид:
Принимая во внимание, что потенциальная энергия системы зависит от обобщенных координат
Введем понятие кинетического потенциала (иначе называемого функцией Лагранжа): Lк = T – П, тогда уравнения (3.20) можно написать в форме:
Уравнения (3.21) представляют собой уравнения Лагранжа второго рода для консервативных систем.
Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 374; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |