Распределение рабочих АО по уровню оплаты труда

Расчет средней арифметической в рядах распределения

Если значения осредняемого признака заданы в виде интер­валов ("от — до"), т.е. интервальных рядов распределения, то при расчете средней арифметической величины в качестве зна­чений признаков в группах принимают середины этих интерва­лов, в результате чего образуется дискретный ряд.

Рассмотрим следующий пример (табл. 5.3).

Таблица 5.3

Исходные данные	Расчетные значения Шачения
Группы рабочих по оплате труда, руб.	Числорабочих, чел., f	Середина интервала, руб. Х	х*f
До 1000			4 500
1000-1200
1200-1400
1400-1600
1600-1800
1800 и более
Итого		-

От интервального ряда перейдем к дискретному путем заме­ны интервальных значений их средними значениями (простая средняя между верхней и нижней границами каждого интерва­ла). При этом величины открытых интервалов (первый и по­следний) условно приравниваются к интервалам, примыкающим к ним (второй и предпоследний).

При таком исчислении средней допускается некоторая не­точность, поскольку делается предположение о равномерно­сти распределения единиц признака внутри группы. Однако ошибка будет тем меньше, чем уже интервал и чем больше единиц в интервале.

После того как найдены середины интервалов, вычисления делают так же, как и в дискретном ряду, — варианты умножают на частоты (веса) и сумму произведений делят на сумму частот (весов), руб.:

.

Итак, средний уровень оплаты труда рабочих АО составляет 1458 руб. в месяц.

Вычисление средней арифметической часто сопряжено с большими затратами времени и труда. Однако в ряде случа­ев процедуру расчета средней можно упростить и облег­чить, если воспользоваться ее свойствами. Приведем (без доказательства) некоторые основные свойства средней арифметической.

Свойство 1. Если все индивидуальные значения признака (т.е. все варианты) уменьшить или увеличить в i раз, то среднее значение нового признака соответственно уменьшится или увеличится в i раз.

Свойство 2. Если все варианты осредняемого признака уменьшить или уве­личить на число А, то средняя арифметическая соответст­венно уменьшится или увеличится на это же число А.

Свойство 3. Если веса всех осредняемых вариантов уменьшить или увеличить в к раз, то средняя арифметическая не изменится.

В качестве весов средней вместо абсолютных показателей можно использовать удельные веса в общем итоге (доли или проценты). Тем самым достигается упрощение расчетов средней.

Для упрощения расчетов средней идут по пути уменьшения значении вариантов и частот. Наибольшее упрощение достига­ется, когда в качестве А выбирается значение одного из цен­тральных вариантов, обладающего наибольшей частотой, в каче­стве i - величина интервала (для рядов с одинаковыми интерва­лами). Величина А называется началом отсчета, поэтому такой метод вычисления средней называется «способом отсчета от ус­ловного нуля» или «способом моментов».

Допустим, что все варианты х сначала уменьшены на одно и то же число А, а затем уменьшены в i раз. Получим новый ва­риационный ряд распределения новых вариантов (х₁).

Тогда новые варианты будут выражаться: а их новая средняя арифметическая m₁ - момент первого порядка — формулой и будет равна средней из первоначаль­ных вариантов, уменьшенной сначала на А, а затем в i раз, т.е.

Для получения действительной средней надо момент первого порядка от, умножить на i и прибавить А:

(5.8)

=

Данный способ вычисления средней арифметической из ва­риационного ряда называют «способом моментов». Применяется этот способ в рядах с равными интервалами.

Расчет средней арифметической по способу моментов иллю­стрируется данными табл.5.4

Таблица 5.4.

Распределение предприятий региона по стоимости основных производственных фондов (ОПФ)

Группы предприятий по стоимости ОПФ, млн руб.	Число предприятий f	Середины интервалов X
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24			-2 - 1	-4 -6
Итого		-	-

Находим момент первого порядка . Затем принимая А =19 и зная, что i = 2, вычисляем х, млн. руб.:

Итак, средняя стоимость основных производственных фон­дов предприятий региона составляет 19 млн. руб.

Применение способа моментов настолько облегчает расчеты, что позволяет их выполнять без использования вычислительной техники даже при больших и многозначных числах, характери­зующих индивидуальные значения осредняемых показателей.

5.2.3. Средняя гармоническая

При расчете средних показателей помимо средней арифме­тической могут использоваться и другие виды средних. Однако любая средняя величина должна вычисляться так, чтобы при замене ею каждого варианта осредняемого признака не изме­нялся итоговый, обобщающий, или, как его принято называть, определяющий показатель, который связан с осредняемым пока­зателем (например, при замене фактических скоростей на от­дельных отрезках пути их средней скоростью не должно изме­ниться общее расстояние, пройденное транспортным средством за одно и то же время; при замене фактических заработных плат отдельных работников предприятия средней заработной платой не должен измениться фонд заработной платы). Следовательно, в каждом конкретном случае в зависимости от характера имею­щихся данных существует только одно истинное среднее значе­ние показателя, адекватное свойствам и сущности изучаемого социально-экономического явления.

Вид средней определяется характером взаимосвязи опреде­ляющего показателя с осредняемым.

Средняя арифметическая, как было показано выше, приме­няется в тех случаях, когда известны варианты варьирующего признака х и их частоты .

Когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам x совокупности, а представлена как их произведение , применяется формула средней гармониче­ской взвешенной. Чтобы исчислить среднюю, обозначим , откуда w/x. Теперь преобразуем формулу средней арифметической таким образом, чтобы по имеющимся данным х и w можно было исчислить среднюю. В формулу средней арифметической взвешенной (5.4) вместо подставим w, вместо - отношение w/x и получим формулу средней гармо­нической взвешенной:

. (5.9)

Из формулы (5.9) видно, что средняя гармоническая — сред­няя взвешенная из варьирующих обратных значений признака. Она является преобразованной формой арифметической сред­ней и тождественна ей. Вместо гармонической всегда можно рассчитать среднюю арифметическую, но для этого сначала нужно определить веса отдельных значений признака, скрытые в весах средней гармонической.

Таким образом, средняя гармоническая применяется тогда, когда неизвестны действительные веса , а известно,

т.е. в тех случаях, когда средняя предназначается для расчета сумм слагаемых, обратно пропорциональных величине данного признака, когда суммированию подлежат не сами варианты, а обратные им величины.

Например, по данным (табл. 5.5) требуется определить сред­нюю цену 1 кг яблок в апреле.

Таблица 5.5

Дата добавления: 2014-01-06