Сводка формул для всех видов соединений

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕНЕДЖМЕНТА

Тексты лекций

Редактор Р. М. Рябая

Компьютерный набор и верстка В. П. Демидовец

Подписано в печать 30.04.2010. Формат 60×84¹/_16.

Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 7,9. Уч.-изд. л. 8,2.

Тираж 300 экз. Заказ.

Отпечатано в Центре издательско-полиграфических

и информационных технологий учреждения образования

«Белорусский государственный технологический университет».

220006. Минск, Свердлова, 13а.

ЛИ № 02330/0549423 от 18.04.2009.

ЛП № 02330/0150477 от 16.01.2009.

Задача. Пусть имеется множество, содержащее 4 буквы: {А, B, C, D}. Записать все возможные размещения из 4-х указанных букв по две а) без повторений; б) с повторениями.

Решение.

а) Таких размещений 12: (АВ), (AC), (АD), (ВС), (ВD), (BA), (CA), (CB), (СD), (DА), (DВ), (DС). Заметим, что размещения отличаются порядком входящих в них элементов и их составом. Размещения АВ и ВА содержат одинаковые буквы, но порядок их расположения различен.

б) Таких размещений 16. К приведенным для случая (а) размещениям добавляются размещения из одинаковых элементов (АА), (BB), (CC), (DD).

Задача. В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

Решение. В данной задаче генеральной совокупностью являются 12 страниц газеты, и выборкой без возвращения 4 выбранные из них страницы для фотографий. В данной задаче важно не только то, какие выбраны страницы, но и в каком порядке (для расположения фотографий). Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

= 12 11 × 10 × 9 = 11880.

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

Задача. У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами1; 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера – составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?

Решение. Можно считать, что опыт состоит в 5-кратном выборе с возращением одной из 3-х цифр {1, 3, 7}. Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из 3-х элементов по 5:

= 3⁵ = 243.

Задача. Пусть имеется множество букв {A, B, C}. Записать все возможные перестановки.

Решение. Этому множеству букв соответствует 6 перестановок: (АВС), (ACB), (BAC), (BCA), (CBA), (CAB).

Задача. Сколько можно составить четырехбуквенных “слов” из букв слова “брак”?

Решение. Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова “брак” {б, р, а, к}. Число “слов” определяется перестановками этих 4-х букв, т.е. Р₄ = 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24.

Задача. Сколькими способами можно расставить девять различных книг на полке, чтобы определенные четыре книги стояли “рядом”?

Решение. В исходной генеральной совокупности – 9 разных книг. Будем считать выделенные 4 книги за одну. Тогда для остальных 6 книг существует Р₆ = 6! = 720 перестановок. Однако четыре определенные книги можно переставить между собой Р₄ = 4! = 24 способами. По правилу умножения имеем

Р₆ × Р₄ = 720 × 24 = 17280.

Задача. Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова “Миссисипи”?

Решение. Здесь 1 буква “м”, 4 буквы “и”, 3 буквы “c” и 1 буква “п”, всего 9 букв.

Следовательно, число перестановок с повторениями равно

Р₉ (1, 4, 3, 1) = = 2520.

Задача. Пусть имеется множество, содержащее 4 буквы {A, B, C, D}. Запишем все возможные сочетания из указанных букв по 3.

Решение. Таких сочетаний 4: ABC, ACD, ABD, BCD.

Здесь в число сочетаний не включены, например, АСВ, ВСА, так как они не отличаются по составу от последовательности букв АВС, т.к. перестановка элементов нового сочетания не дает.

Задача. Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. Генеральной совокупностью является 10 различных книг. Из них нужно выбрать 4, причем порядок выбора книг не играет роли. Нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4: = 210.

Задача. Имеется 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 7 шаров, чтобы среди них были 3 черных?

Решение. Имеем 15 шаров: 10 белых и 5 черных. Нужно выбрать 7 шаров: 4 белых и 3 черных. Разобьем 15 шаров на 2 генеральные совокупности: 1) 10 белых шаров; 2) 5 черных шаров. 4 белых шара будем выбирать из I-ой генеральной совокупности, порядок выбора безразличен, их можно выбрать = 210 способами. 3 черных шара будем выбирать из 2-й генеральной совокупности, их можно выбрать = 10 способами. Тогда по правилу умножения искомое число способов равно × = 2100.

Решение этой задачи можно схематически представить следующим образом:

	15 ш.
10 б.		5 ч.
	х
4 б. состав	и	3 ч. состав
	7 ш.

Задача. Сколько существует вариантов опроса 11 учащихся на одном занятии, если ни одни из них не будет подвергнут опросу дважды и на занятии может быть опрошено любое количество учащихся, причем порядок, в котором опрашиваются учащиеся безразличен?

Решение.

Имеется генеральная совокупность, состоящая из 2 ^х элементов: { а, в }, где а – ученик опрошен, в – ученик не опрошен на данном занятии. Опыт состоит в 11-кратном выборе с возвращением одного из элементов этого множества – каждый из 11 учеников либо опрошен, либо не опрошен. В данной задаче важно не только то, какие выбраны элементы множества (сколько учеников опрошено и сколько нет), но и в каком порядке (т.е. какой именно ученик опрошен или нет). Число способов такого выбора определяется числом размещений с повторениями из 2 элементов по 11; = 2¹¹.

Задача. Имеются 2 буквы А, 2 буквы В, 2 буквы С. Сколькими способами можно выбрать две из этих шести букв?

Решение. Существует 6 способов выбора 2-х букв из 6-ти с повторениями: (АА), (AB), (AC), (BC), (BB), (CC). Порядок следования букв не учитывается.

Задача. В технической библиотеке имеются книги по математике, физике, химии и т.д., всего по 16 разделам науки. Поступили очередные 4 заказа на литературу. Сколько существует вариантов такого заказа?

Решение. Так как 4 заказанные книги могут быть и из одного раздела науки, и из разных разделов, при этом порядок выбора разделов не важен, то число вариантов заказа определяется числом сочетаний с повторениями из 16 элементов по 4, т.е.

= = = = 3876.

Задача. В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Решение. Очевидно, что порядок, в котором выбираются пирожные не существен, причем в комбинации могут входить повторяющиеся элементы (например, можно купить 7 эклеров). Следовательно, число способов покупки 7 пирожных определяется числом сочетаний с повторениями из 4 элементов по 7, т.е.

= = = = 120.

Дата добавления: 2014-01-06