![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Формула БАЙЕСА
При выводе формулы полной вероятности предполагалось, что событие А, вероятность которого следовало определить, могло произойти с одним из событий Н 1 , Н 2 ,..., Нn, образующих полную группу попарно несовместных событий. При этом вероятности указанных событий (гипотез) были известны заранее. Предположим, что произведен эксперимент, в результате которого событие А наступило. Эта дополнительная информация позволяет произвести переоценку вероятностей гипотез Нi, вычислив Р(Нi/А). или, воспользовавшись формулой полной вероятности, получим Эту формулу называют формулой Байеса или теоремой гипотез. Формула Байеса позволяет «пересмотреть» вероятности гипотез после того, как становится известным результат опыта, в результате которого появилось событие А. Вероятности Р(Нi) − это априорные вероятности гипотез (они вычислены до опыта). Вероятности же Р(Нi/А) − это апостериорные вероятности гипотез (они вычислены после опыта). Формула Байеса позволяет вычислить апостериорные вероятности по их априорным вероятностям и по условным вероятностям события А. Пример. Известно, что 5 % всех мужчин и 0.25 % всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо по номеру медицинской карточки страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина? Решение. Событие А – человек страдает дальтонизмом. Пространство элементарных событий для опыта – выбран человек по номеру медицинской карточки – Ω = { Н 1 , Н 2 } состоит из 2 событий: Н 1 −выбран мужчина, Н 2 −выбрана женщина. Эти события могут быть выбраны в качестве гипотез. По условию задачи (случайный выбор) вероятности этих событий одинаковые и равны Р(Н 1 ) = 0.5; Р(Н 2 ) = 0.5. При этом условные вероятности того, что человек страдает дальтонизмом, равны соответственно: Р(А/Н 1 ) = 0.05 = 1/20; Р(А/Н 2 ) = 0.0025 = 1/400. Так как известно, что выбранный человек дальтоник, т. е. событие произошло, то используем формулу Байеса для переоценки первой гипотезы: Пример. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором – 10 белых и 10 черных, в третьем – 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Вычислить вероятность того, что шар вынут из первого ящика. Решение. Обозначим через А событие – появление белого шара. Можно сделать три предположения (гипотезы) о выборе ящика: Н 1, Н 2, Н 3 − выбор соответственно первого, второго и третьего ящика. Так как выбор любого из ящиков равновозможен, то вероятности гипотез одинаковы: Р(Н 1 )=Р(Н 2 )=Р(Н 3 )= 1/3. По условию задачи вероятность извлечения белого шара из первого ящика Вероятность извлечения белого шара из второго ящика Вероятность извлечения белого шара из третьего ящика Искомую вероятность находим по формуле Байеса:
Повторение испытаний. Формула Бернулли. Проводится n испытаний, в каждом из которых событие А может произойти или не произойти, причем вероятность события А в каждом отдельном испытании постоянна, т.е. не меняется от опыта к опыту. Как найти вероятность события А в одном опыте мы уже знаем. Представляет особый интерес вероятность появления определенного числа раз (m раз) события А в n опытах. подобные задачи решаются легко, если испытания являются независимыми. Опр. Несколько испытаний называюся независимыми относительно события А, если вероятность события А в каждом из них не зависит от исходов других опытов. Вероятность Рn(m) наступления события А ровно m раз (ненаступление n-m раз, событие
Очевидны следующие формулы:
Рn(m<k) = Рn(0) + Рn(1) +…+ Рn(k-1) - вероятность наступления события А менее k раз в n испытаниях.
Pn(m>k) = Pn(k+1) + Pn(k+2) +…+ Pn(n) - вероятность наступления события А более k раз в n испытаниях.
Pn(m
Рn(m
Рn(m<k) = 1 - Pn(m
Pn(m>k) = 1 - Рn(m
Задача 1. Монету бросают 8 раз. Какова вероятность, что 4 раза выпадет «герб»? Какова вероятность, что более одного раза выпадет «герб»?
р = р(А) = ½, q = р(
1) n = 8, m = 4, p = q = ½,
P8(4) =
2)
Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 1876; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |