Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Первичная обработка результатов эксперимента. Характеристики вариационных рядов

Пусть произведено независимых измерений некоторой случайной величины : – результат первого измерения, – результат второго измерения, …, – результат -го измерения. Тогда через обозначим среднее арифметическое результатов измерений рассматриваемой случайной величины , то есть

.

Заметим, что, поскольку – случайные величины, то также является случайной величиной.

Пример. Детали некоторого вида расфасованы по ящикам. Результаты обследования шести из этих ящиков (на предмет наличия в них бракованных деталей) представлены в таблице:

           
           

 

где – номер ящика, – число бракованных деталей в -ом ящике.

 

Тогда

Приведенное вычисление подсказывает возможность более компактного представления результатов обследования, а именно – использование таблицы следующего вида:

     
       

где – число бракованных деталей в ящике; – число ящиков.

 

Такая таблица называется вариационным рядом. Аналогично, в общем случае имеем

 

Определение. Вариационным рядом признака называется таблица вида

где – возможные значения данного признака, – числа объектов, , – число обследованных объектов ().

Отметим, что величины , значения которых заполняют нижнюю строку вариационного ряда, называются эмпирическими частотами.

Очевидно, что признак , для которого строится вариационный ряд, есть случайная величина.

В том случае, когда результаты обследования представлены вариационным рядом, формула для вычисления имеет вид

(1)

 

Сама величина в этом случае называется средней вариационного ряда или выборочной средней. Появление в данном случае дополнительного эпитета выборочный связано с тем, что обследованные объекты выбираются из некоторой объемлющей (так называемой генеральной) совокупности объектов.

Напомним, что есть случайная величина. В тех случаях, когда данные эксперимента представлены вариационным рядом, а вычисляется по формуле (1), случайными являются эмпирические частоты .

Вариационный ряд является оценкой закона распределения случайной величины (признака) . Поясним, почему это так. По вариационному ряду построим равнозначную ему таблицу, заменяя строку эмпирических частот частостями . В результате имеем:

 

Учитывая, что частости являются оценками вероятностей (, см. § 7.1), приходим к требуемому утверждению.

Принимая во внимание последнее замечание, получаем

.

Таким образом, средняя вариационного ряда (выборочная средняя) является оценкой математического ожидания той случайной величины (признака) , для которой построен данный вариационный ряд. Можно доказать, что эта оценка является несмещенной и состоятельной.

Учитывая полученные результаты, аналогично построим оценку для дисперсии случайной величины :

Выражение, стоящее в правой части последнего равенства называется выборочной дисперсией и обозначается , то есть

Выборочная дисперсия – оценка для дисперсии случайной величины . Можно доказать, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой для , то есть Несмещенная оценка для определяется равенством

Заметим, что для вычисления выборочной дисперсии удобно использовать формулу – аналог свойства 3 дисперсии (см. § 3.3):

Определение. Вариационный ряд называется дискретным, если число возможных значений признака– конечно, и непрерывным (интервальным), если возможные значения признака полностью заполняют некоторый интервал.

Вариационные ряды, которые встречались нам до сих пор в данном параграфе, являются дискретными. Рассмотрим пример интервального вариационного ряда.

Пример. По результатам обследования некоторого малого предприятия получены следующие данные о ежемесячной заработной плате его сотрудников:

 

5 15 15 25 25 35
       

где размер заработной платы (ден. ед.), число сотрудников.

 

Для нахождения параметров непрерывного вариационного ряда – выборочной средней, выборочной дисперсии – этот вариационный ряд сначала сводится к дискретному (в результате выбора середины для каждого из рассматриваемых интервалов), после чего и вычисляются по приведенным выше формулам.

Например, данный интервальный вариационный ряд сводится к следующему дискретному:

     
       

 

 

Тогда

 

или

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Оценка неизвестного параметра. Свойства оценок | Сплошное и выборочное наблюдения
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 270; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.021 сек.