![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Оценка генеральной доли
Пусть требуется оценить долю тех объектов заданной генеральной совокупности, которые удовлетворяют некоторому условию Таким образом, выборочная доля Пример.
Простейший способ оценивания – точечное оценивание – подразумевает использование приближенного равенства Как и всякая оценка, выборочная доля Следующие теоремы характеризуют выборочную долю как случайную величину. Теорема 1. Математическое ожидание выборочной доли равно генеральной доле:
Среднее квадратическое отклонение – в случае повторной выборки и – в случае бесповторной выборки, где Напомним, что по определению среднего квадратического отклонения в случае повторной выборки имеем Замечание. При применении формул Теоремы 1 полагают
Теорема 2. Закон распределения выборочной доли неограниченно приближается к нормальному закону при неограниченном увеличении объема выборки. Подобно тому, как мы это сделали в предыдущем параграфе, как следствие Теоремы 2, получаем формулу доверительной вероятности: – в случае повторной выборки. Заменяя в последнем равенстве По определению, величина Выше было указано, в чем состоит точечная оценка генеральной доли. Интервальное оценивание сводится, например, к вычислению значения доверительной вероятности при заданной предельной ошибке выборки.
Теорема 3. В случае повторной выборки выборочная доля является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной доли.
Пример. Выборочные данные о надое молока для 100 коров из 1000 представлены таблицей:
1. Найти вероятность того, что доля всех коров с надоем молока более 40 ц отличается от такой доли в выборке не более чем на 0,05 (по абсолютной величине), для случая повторной и бесповторной выборок. 2. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9596 заключена доля всех коров с надоем более 40 ц. 3. Сколько коров надо обследовать, чтобы с вероятностью 0,9786 для генеральной доли коров с надоем более 40 ц можно было гарантировать те же границы что и в п.2.
Решение. Число Для нахождения доверительной вероятности п. 1 задания воспользуемся одноименной формулой при Пусть рассматриваемая выборка – повторная. Тогда по формуле Теоремы 1, учитывая Замечание, получаем
Следовательно
Аналогично, в случае бесповторной выборки:
Доверительным в данном случае является интервал В п. 2 задания при заданном значении доверительной вероятности искомым является доверительный интервал. Поскольку значение выборочной доли известно, остается найти предельную ошибку выборки Пусть выборка – повторная. По условию, принимая во внимание формулу доверительной вероятности, имеем
По таблице значений функции Лапласа найдем такое
Соответственно, доверительным будет интервал:
Пусть выборка – бесповторная. Аналогично предыдущему, получаем предельную ошибку выборки и доверительный интервал:
Таким образом, доля всех коров с надоем молока более 40 ц с вероятностью 0,9596 накрывается доверительным интервалом (0,243; 0,437) в случае повторной выборки и интервалом (0,248; 0,432) в случае бесповторной выборки.
В п. 3 по заданным значениям доверительной вероятности и предельной ошибки выборки найдем необходимый объем выборки. Из начла решения заимствуем значение выборочной доли Пусть выборка – повторная. По условию, принимая во внимание формулу доверительной вероятности, имеем:
По таблице значений функции Лапласа найдем такое
Решая это уравнение относительно (заметим, что, как и ранее, округление здесь произведено в большую сторону). Аналогично, в случае бесповторной выборки из условия и формулы доверительной вероятности следует равенство или, принимая во внимание известное выражение для
Решая это уравнение относительно
Подставляя в правую часть последнего равенства известные значения, окончательно имеем:
Таким образом, в повторную выборку надо взять 127 коров, чтобы с вероятностью 0,9786 можно было утверждать, что доля всех коров с надоем молока более 40 ц накрывается доверительным интервалом (0,243; 0,437). Аналогично, в бесповторную выборку надо взять 123 коровы, чтобы с вероятностью 0,9786 можно было утверждать, что доля всех коров с надоем молока более 40 ц накрывается доверительным интервалом (0,248; 0,432).
Домашнее задание:9.19, 9.21, 9.23, 9.30.
Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 4067; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |