Закон полного тока. Теорема о циркуляции

------

* * *

Вычислим циркуляцию произвольного вектора с по замкнутому контуру в виде прямоугольника с бесконечно малыми сторонами и

y+dx

y

Будем считать, что величина dx и dy настолько малы, что значение вектора с на каждой стороне контура во всех точках одинаково.

(1)

так как dS направлена вдоль оси z, то ….

Рассмотрим циркуляцию вектора с по произвольно замкнутому контуру. Для этого разобьем поверхность ограниченную контуром на бесконечно малом. ds. Вычислим циркуляцию вектора с по каждому моменту прямоугольника площадью ds по формуле , и затем сложим циркуляции по всем внутренним сторонам в сумме дадут 0 и останется только циркуляция по тем сторонам прямоугольника, которые совпадут с контуром.

- т. Стокса

Теорема Стокса позволяет выяснить физический смысл ротора вектора. Для этого в качестве примера рассмотрим вектор скорости жидкости в водоёме.

Если движения жидкости в водоёме ламинарное (без турбулентности), то циркуляции вектора по любому замкнутому контуру будет = 0

т. О ротор с можно рассматривать, как поверхностную плотность источников вихревого движения поля с. Рисунок

Если ротор с не = 0, то поле называется вихревым.

Потенциальным полем мы называем поле, которое можно представить в виде градиента скалярной функции , заметим ротор любого градиента всегда = 0.

т. О ротор любого потенциального поля будет = 0.

,если ротор поля = 0, то поле потенциальное.

* * *

Формулы

, так как это равенство должно выполняться для любых поверхностей S, то из равенства интегралов, следует равенство подынтегральных выражений

Формула

Дата добавления: 2014-01-06