Аппроксимация характеристик фильтров нижних частот

Функция фильтрации. В общем виде электрические фильтры описываются передаточной функцией вида:
(17.1)

Квадрат амплитудно-частотной характеристики таких фильтров
(17.2)
и, следовательно, рабочее ослабление
(17.3)
, где – нормирующая частота .

(17.4)
(17.5)

Функция называется функцией фильтрации, а – коэффициентом неравномерности ослабления

удовлетворяющая условиям: –1 1 в полосе пропускания и >> 1 в полосе непропускания фильтра.

Фильтры Баттерворта. Если в выражениях, описывающих квадрат АЧХ фильтра (17.4) и его рабочее ослабление (17.5), в качестве функции фильтрации используются полиномы Баттерворта = B_m () = ^m

( = 1) выполнения равенства А _р()₌₁ = А _{р max} или | H _р(j)| = . Отсюда с учетом (17.5) или (17.4) имеем 1 + ² = и ² = – 1. Вычисленный таким способом коэффициент :
(17.6)
называется коэффициентом неравномерности ослабления в полосе пропускания фильтра.

В формуле (17.6) величина А _{р max} имеет размерность непер. Если воспользоваться значениями А _{р max} в децибелах, то
(17.7)

(17.8)

Рабочее ослабление фильтра Баттерворта:
(17.9)

Рис. 17.4

_з А _р(_з) А _{р min} или | H _р (j)| . С учетом этого условия получим 1 + ² > , откуда .

Величина А _{р min} входит в формулу в неперах. Если вычислять ее в децибелах, то:
m (17.11)

(17.12)

и k = 1, 2,..., 2 m.

Так как:
,
имеем:
(17.13)

Для нечетных значений m:

Выражение (17.12) примет вид:
.

,
где H = 1/.

Пример. Найти выражения для частотной характеристики и передаточной функции фильтра нижних частот Баттерворта, удовлетворяющего следующим требованиям: А _{р max} = 3 дБ; А _{р min} = 12,2 дБ; f _п = 159 кГц; f _з = 318 кГц.

Определим нормированную частоту _з = f _з/ f _n = 2 и по формуле (17.7) коэффициент неравномерности ослабления ² = 10^0,1×3 – 1 = 1. Порядок фильтра найдем согласно (17.11):
.

Выберем m = 2. Тогда в соответствии с (17.8) и (17.9):

Дата добавления: 2014-01-06