Типы и источники погрешностей

Лекция 1.Элементы теории погрешностей

Введение

Данное учебное пособие представляет собой конспект лекций по курсу «Численные методы в информатике», который читается студентам специальности 7.080407 «Компьютерный эколого-экономический мониторинг» и является, по существу, введением в соответствующий раздел математики. Структурно состоит из восьми лекций, каждая из которых посвящена одному из разделов курса, и содержит базовые теоретические сведения, призванные создать фундамент, необходимый для дальнейшего самостоятельного изучения данного предмета.

При формировании тематики курса учитывалось содержание известных пакетов прикладных программ. Из-за незначительного времени, выделяемого на данный курс (32 лекционных часа) в него не удалось включить ряд важных разделов. Это в первую очередь относится к вычислительным методам линейной алгебры и приближенным методам решения уравнений в частных производных. Отчасти их отсутствие компенсируется кратким обзором приближенных методов в курсе «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», а разностные схемы включены в курс «Краевые задачи математической физики».

Основная часть индивидуальных заданий, приводимых в конце каждой главы, разработана доцентом Пчелкиным В.Н.

В которой рассматриваются основные понятия теории погрешностей, а также характер распространения погрешности при выполнении арифметических операций и вычислении функции. Приводятся правила записи приближенных чисел и практические правила действия над ними. Отмечаются особенности машинного представления чисел.

Возникающие при математическом моделировании погрешности условно делят на три типа,- неустранимую, погрешность аппроксимации и вычислительную. Источниками первой из них являются неточности в составлении математической модели, а также в задании исходных данных. Вычислитель, как правило, лишён возможности влиять на величину этой погрешности, по-видимому, поэтому она так и называется,- неустранимая. Источником погрешности аппроксимации является замена исходной математической модели иной, более удобной для исследования. Такой переход обычно производится с целью упрощения или видоизменения модели, сокращающего, или открывающего путь к получению решения. Погрешность, возникающая вследствие ошибок округления, производимого в процессе вычислений, называется вычислительной.

Поясним это на примере.

Предположим, что вычисление значения sinx решено проводить по формуле .

Тогда неточность в задании значения x, если она есть, образует неустранимую погрешность. Величина sinx-f(x) представит собой погрешность аппроксимации. А проводимые в процессе вычислений округления, обусловят вычислительную погрешность.

Целью данного раздела является разработка методов численного анализа готовых математических моделей. Поэтому в первую очередь в поле зрения раздела попадают погрешность аппроксимации и вычислительная. Величина и особенности их поведения в процессе вычислений относятся к числу важных показателей, характеризующих качество вычислительных схем.

1.2.Абсолютные и относительные погрешности приближённых чисел

Эти понятия относятся к числу базовых в теории погрешностей.

Обозначим через точное значение некоторой величины, через x,- его приближенное значение. Тогда разность называется погрешностью приближённого числа x. При действиях с приближёнными числами обычно известно, что абсолютная величина погрешности не превосходит некоторой величины , т.е.

Величина представляет собой оценку абсолютной величины погрешности и называется абсолютной погрешностью приближённого числа x. Естественно, в качестве , по имеющейся информации, выбирают наименьшую величину, удовлетворяющую указанному условию. Отметим, что при наличии может быть установлен и диапазон расположения точного значения x. Действительно, т.к. , то .

Отношение

представляет собой относительную погрешность приближенного числа x. Но т.к. , вообще говоря, не известна, то в качестве относительной принимают верхнюю оценку модуля этого отношения. Т.е. величина , такая, что

называется относительной погрешностью числа x. Очевидно, что и .

Иногда величину выражают и в процентах. Заметим, что при наличии также может быть установлен диапазон расположения точного значения. Действительно, так как

,

то .

Дата добавления: 2014-01-06