КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Погрешности квадратурных формул
Погрешности квадратурных формул, рассмотренных в п.3, устанавливаются похожим образом. А именно, в каждом случае определяются локальные погрешности, которые затем суммируются. Рассмотрим формулу левых прямоугольников (8). Согласно формуле Тейлора погрешность интерполяционной формулы на отрезке составляет ,где . Тогда погрешность интегрирования формулы вида (4) описывается выражением
,
которое, согласно обобщенной теоремы о среднем значении, можно представить в более удобной для последующего использования форме
,
где .
Тогда погрешность R формулы (8) равна
.
Далее, предположим функцию f(x) непрерывно дифференцируемой на отрезке [a, b]. Тогда по теореме Вейерштрасса найдется значение [ a, b ] и выражение для описания погрешности принимает окончательный вид
. (12)
Используя (12), можно выбрать шаг h и число n, обеспечивающих заданную точность интегрирования . Действительно, пусть , тогда
. Потребовав , получим .
Рассмотрим формулу трапеций (9). Определим локальную погрешность интегрирования на отрезке [xi-1, xi]. Погрешность интерполяции равна
, где [xi-1, xi] Тогда, согласно теореме о среднем значении
где . Далее, проводя суммирование локальных погрешностей, получим глобальную, допускаемую на отрезке [ a, b ] при использовании формулы трапеции
,
где Проведем без доказательства погрешности для правила Симпсона,– и для правила 3/8, - . Их обоснование см. в монографии: Крылов В.И., Бобков, Монастырный. Вычислительные методы. т2. –М.: Наука, 1977. -400с. В заключении обратим внимание на следующий любопытный факт. Несмотря на более высокую степень интерполяционного многочлена, используемого в правиле 3/8, его итоговая погрешность интегрирования, при прочих равных условиях, выше, чем в правиле Симпсона.
6.5. Понятие о методах Монте–Карло Методы Монте-Карло приближенного вычисления интегралов основаны на использовании равномерно распределенных последовательностей. Рассмотрим на плоскости некоторую ограниченную область D площадью и предположим, что в ней задана некоторая бесконечная последовательность точек,….Пусть некоторая произвольная область площадью. Рассмотрим первые N точек последовательности {Pi} и обозначим через число точек из них, попадающих в d. Тогда Последовательность {Pi} равномерно распределена в D тогда и только тогда, когда для произвольной области d D.
Отсюда следует, что при достаточно больших значениях N отношение
,
откуда площадь области приближенно равна
(13)
Таким образом, если площадь области D известна, то, генерируя в ней равномерно распределенную последовательность, площадь произвольной области, расположенной в ней, можно определить простым подсчетом числа точек попадающих в последовательность {Pi}. На этих особенностях и базируется методы приближенного интегрирования Монте-Карло. Рассмотрим интеграл (1) и для упрощения предположим, что f(x)0. Тогда, значение (1) представляет собой площадь криволинейной фигуры, ограниченной графиком y=f(x), x [ a, b ]. Возьмем в качестве области D прямоугольник [ a, b; 0, M ], где M max f(x,) площадью = M(b-a) . Далее формируя в D равномерно распределенную последовательность и осуществляя подсчет ,– числа точек попавших в фигуру, ограниченную графиком y=f(x), по формуле (13) определим приближенное значение площади и, тем самым, приближенное значение интеграла(1). Известны различные способы генерирования равномерно распределенных последовательностей, в частности, случайно распределенные, – последовательности. Более подробно о них см. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями.–М.: Наука, 1981. -110стр.
Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 308; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |