Образование энергетических зон в кристаллах

Движение частиц в твердых телах

Коллективное движение частиц в твердых телах удобно характеризовать с помощью квазичастиц.

В твердом теле - это фононы, экситоны, магноны, плазмоны, поляроны, электроны и дырки.

Различают два класса квазичастиц - фермионы, и - бозоны.

Фермионы - частицы с полуцелым спином подчиняются статистике Ферми - Дирака.

Бозоны - частицы с целым спином, для них реализуется статистика Бозе - Эйнштейна.

*) спин - собственный момент количества движения (мех момент)

Мы будем рассматривать энергетический спектр движения электронов, относящихся к классу фермионов.

Кроме того, мы будем пользоваться понятием - фонон

Фонон – квант тепловых колебаний кристаллической решетки, квазичастица обладающая энергией Ефон

Ефон = kT (2.2)

При рассмотрении энергетического спектра электронов используются ряд приближений:

- рассматриваются только валентные электроны внешних атомных оболочек, которые образуют систему электронов проводимости.

- электроны внутренних атомных оболочек вместе с ядром представляются единым целым - ионом.

Рассмотрим образование и строение энергетических зон в кристаллах.

Рассмотрим качественно, как образуются энергетические зоны. Пусть N атомов составляют правильную пространственную решетку и расположены на больших (макроскопических) расстояниях друг от друга.

Если однородно сжимать такую решетку, сохраняя геометрическое подобие то в процессе сближения атомов усиливается их взаимодействие, что и обуславливает трансформацию энергетического спектра электронов изолированного атома в электронный спектр кристалла, рис. 2.1

Рис. 2.1. Схема образования энергетических зон кристалла из атомных уровней при сближении атомов.

В каждом атоме имеются различные уровни энергии (соответствуюшие электронным уровням) Е_М, Е_L, Е_K и т.д. (рис.1)

В изолированном атоме электрон пребывает на стационарном уровне Е_a неограниченно долгое время.

Чтобы покинуть атом электрону надо сообщить энергию для преодоления потенциального барьера.

Благодаря тому, что атомы в веществе расположены близко друг к другу, и их внешние электронные оболочки перекрываются, возникает межатомная связь.

В результате этого характер движения электронов в кристалле меняется: электроны, находящиеся на определенном энергетическом уровне одного атома, получают возможность переходить без затраты энергии на соответствующий уровень соседнего атома и, таким образом, - свободно перемещаться по объему всего твердого тела, т.е. обмениваться местами.

Явление просачивания частицы сквозь потенциальный барьер, чисто квантовоеявление и называется туннельным эффектом.

При этом сокращается время пребывания электрона на данном узле решетки. Время пребывания электрона вблизи данного узла t связано с размытием, или шириной уровня D Е:

tDЕ ~ , (2.3)

где = h/2p

*) h = 6,625.10^-24– постоянная Планка (или квант действия),

(2.3) это соотношение неопределенности (соотношение неопределенности Гейзенберга для энергии Е и времени t)

Это означает (2.3), что - энергия частицы, в каком либо состоянии может быть определена тем точнее, чем дольше частица находиться в этом состоянии.

Следовательно, уменьшение t при образовании кристалла из изолированных атомов приводит к расширению уровня Е_a в зону шириной D Е_a.

Т.е. в результате переходов электронов при сближении атомов одинаковые уровни энергии расщепляются.

Число атомов в кристалле: (10²² - 10²³) / кубический сантиметр.

Каждый атомный уровень расщепляется на N уровней, расстояние между которыми тем меньше, чем больше число атомов.

В пределе N ® ¥ они (уровни) слипаются образуя зоны разрешенных значения энергий, ширина которых тем больше, чем больше взаимодействие между соседними атомами.

На каждый уровень в зоне может поместиться два электрона (квант. физика, принцип Паули), а всего в зону - 2 N электронов.

Важно: для расщепления уровня на N уровней нет необходимости, чтобы все N атомов были близки друг к другу; достаточно, чтобы к любому можно было “добраться” через соседей. Величина максимального расщепления определяется взаимодействием атомов - соседей

Для валентных электронов ширина разрешенной энергетической зоны составляет несколько электрон-вольт: пусть D Е ~ /t ~ 1 эВ.

Тогда, расстояние между уровнями - бесконечно мало (D Е / N ~ 10^-22 эВ), так что зону можно считать квазинепрерывной.

Для электронов внутренних атомных оболочек потенциальный барьер шире и выше, и вероятность туннельного эффекта намного меньше, чем для валентных электронов. Вследствие этого электроны глубоких уровней практически связаны с определенными узлами решетки. Так К-электрон натрия переходит от одного узла к другому в среднем за t ~ 1 час, а DЕ ~ 10^-19 эВ, т. е. К-уровень в кристалле остается практически резким. Однако и на глубоких уровнях в стационарном состоянии электрон распределен с одинаковой вероятностью по всем узлам кристаллической решетки.

Пример:

Частота переходов электронов f от одного атома к другому пропорциональна вероятности туннелирования через потенциальный барьер (ПБ) DЕ_п.

Можно показать, что при высоте ПБ DЕп ~ 10 Эв время нахождения электрона в определенном узле решетки всего лишь

t = 1/ f ~ 10^-15 секунд.. (2.4)

Т.е. электроны внешних атомных оболочек не локализуются вблизи определенного узла решетки, а движутся по кристаллу.

При радиусе боровской орбиты (атом модели Бора) b ~ 10^{-8 см скорость движения электронов}

v ~ b/t= 10^-8/10^-15 ~ 10⁷ см/с. (2.5)

Справка: скорость электрона в атоме v ~ 10⁸ см/с,

Валентная зона и зона проводимости

Нас будут интересовать валентная зона и зона проводимости зонной диаграммы

Рис 2.2 Зонная диаграмма диэлектрика и полупроводника (х- координата кристалла)

Дата добавления: 2014-01-06