Концентрация подвижных носителей заряда в собственном полупроводнике

В единичном объеме конкретного полупроводника при данной температуре находится определенное количество свободных носителей (электронов и дырок), которое называется концентрацией. Для нахождения концентрации носителей необходимо учесть число имеющихся в разрешенной зоне (зона проводимости для электронов и валентная зона для дырок) свободных энергетических уровней N (e), принимая во внимание принцип запрета Паули.

В теории твердого тела показано, что плотность энергетических уровней N (плотность состояний), приходящихся на единичный интервал энергии, зависит от энергии (рис. 1.8, а):

(3)

(4)

Рис. 1.8. Зависимости плотности энергетических

состояний

(а), вероятностей заполнения уровней свободными носителями

(б) и концентраций свободных носителей

(в) от энергии в беспримесном полупроводнике

В системах частиц, описываемых антисимметричными волновыми функциями, осуществляется распределение Ферми-Дирака. Этой статистикой описывается поведение систем фермионов (электронов, протонов, нейтронов) – частиц, подчиняющихся принципу Паули и имеющих полуцелый спин (±1/2). Вероятность заполнения разрешенных уровней определяется функцией Ферми-Дирака (рис. 1.8. б), содержащей в качестве параметров состояния температуру и энергию уровня Ферми:

(5)

(6)

Если число электронов (или дырок), приходящихся на любой энергетический интервал, меньше числа возможных состояний, то такой полупроводник называется невырожденным. Невырожденными полупроводниками являются нелегированные и слабо легированные полупроводники. Полупроводники становятся вырожденными при высоких концентрациях примесей, когда число подвижных носителей превышает число возможных состояний. В невырожденных полупроводниках электроны и дырки имеют энергию, значительно отличающуюся от энергии Ферми. Разность , как правило, более чем в три раза превышает значение . Поэтому единицей в знаменателях формул (5, 6) можно пренебречь. Тогда вероятность заполнения энергетических уровней в зоне проводимости будет распределением Максвелла-Больцмана классической статистики

(7)

А вероятность возникновения дырки будет равна

(8)

Энергетическая плотность электронов и дырок равна

(9)

(10)

Для определения концентрации электронов и дырок в полупроводнике надо проинтегрировать по энергии энергетическую плотность электронов и дырок соответственно

(11)

(12)

Здесь – эффективная плотность состояний в зоне проводимости, а – эффективная плотность состояний в валентной зоне.

(13)

(14)

В собственном полупроводнике , следовательно

(15)

Логарифмируя и решая относительно , получаем

(16)

Величина значительно меньше, чем , поэтому уровень Ферми в собственном полупроводнике расположен приблизительно посередине запрещенной зоны.

Дата добавления: 2014-01-06