Ускорение

Быстроту изменения вектора скорости характеризует физическая величина, называемая ускорением. Среднее ускорение равно отношению изменения вектора скорости к промежутку времени Δ t, за который оно произошло.

.

Мгновенным ускорением называют физическую величину равную производной вектора скорости по времени:

Учитывая, что, получим

Определим направление и величину мгновенного ускорения материальной точки. Пусть точка движется по криволинейной траектории (рис. 1.3). Вектор скорости в любой точке траектории представим в виде:, где v – модуль скорости, а – единичный вектор, направленный по касательной к траектории в направлении движения.

Рис. 1.3.

По определению. Взяв производную произведения, получим

.

Умножим числитель и знаменатель второго слагаемого на элементарный путь ds:

.

Учитывая, что, запишем:

.

Если промежуток времени dt бесконечно мал, то все соответствующие ему точки траектории находятся на дуге окружности радиуса R, сопряженной с траекторией на данном участке. Величину R называют радиусом кривизны, а центр этой окружности – центром кривизны траектории.

Найдём разность двух единичных касательных векторов, расположенных бесконечно близко на траектории. Угол между ними также бесконечно мал. При этом угол между векторами и стремится к 90°. Из подобия треугольника ОАВ и треугольника, образованного векторами и (на рисунке 1.3 он покрыт точками), определим, а вектор, где – единичный вектор, перпендикулярный вектору скорости и направленный к центру окружности (центру кривизны траектории). В итоге видим, что полное ускорение выражается формулой

и состоит из двух взаимно перпендикулярных векторов: тангенциального ускорения

и нормального ускорения

.

Рис. 1.4.

Полное ускорение является суммой этих векторов (рис. 1.4).

Тангенциальная компонента ускорения направлена вдоль траектории движения в направлении скорости, если (скорость увеличивается, рис. 1.5, а) и против скорости, если (скорость уменьшается, рис. 1.5,
б). Проекция вектора тангенциального ускорения на направление скорости в первом случае положительна, а во втором отрицательна:.

Рис. 1.5.

Нормальная компонента ускорения направлена перпендикулярно касательной к траектории движения в направлении центра кривизны.

.

Применяя теорему Пифагора, получим модуль полного ускорения

.

Тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю. Если v = const., то и = 0.

Нормальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения вектора скорости по направлению. В случае прямолинейной траектории радиус кривизны стремится к бесконечности (R ∞), значит и.

Если материальная точка движется, то ее радиус-вектор является функцией времени. Зависимость радиус-вектора движущейся материальной точки от времени называют кинематическим уравнением движения. Выберем прямоугольную декартову систему координат и запишем радиус-вектор в проекциях на оси:

,

где – координаты материальной точки, равные проекциям радиус-вектора на оси координат:, а – единичные векторы в направлении координатных осей x, y и z (орты осей). В процессе движения координаты точки меняются, т. е. являются функциями времени. Зная зависимость координат от времени, можно найти положение точки в каждый момент времени, её скорость и ускорение. Действительно, взяв производную радиус-вектора по времени, найдём вектор скорости

,

,

где – проекции вектора скорости на оси координат. Применяя теорему Пифагора, определим модуль вектора скорости

.

Аналогичным образом определим вектор мгновенного ускорения, взяв производную вектора скорости по времени

,

,

где – проекции вектора ускорения на оси координат, а модуль полного ускорения определится как

.

Дата добавления: 2014-01-06