Градиент скалярного поля

Потенциальная энергия упругих сил

Рис. 1.31.

По определению потенциальной энергии. Согласно закону Гука (рис. 1.31), и

.

Примем, что в недеформированном состоянии (x = 0) пружина имеет потенциальную энергию равную нулю, тогда постоянная интегрирования C равна нулю (). Потенциальная энергия упругих сил:

.

Графиком зависимости потенциальной энергии пружины от величины деформации х будет парабола.

Скалярным полем называют область пространства, каждая точка которого характеризуется некоторой скалярной величиной, например, температурой, освещенностью или значением потенциальной энергии материальной точки в силовом поле.

Рис. 1.32.

Поверхностью уровня скалярного поля называют совокупность точек пространства, в которых скалярная величина имеет одно и то же значение. Например, поверхностью уровня потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли является сфера (рис. 1.32). и, когда Чем больше r, тем больше значение потенциальной энергии.

Силы поля перпендикулярны поверхности уровня. Действительно, при перемещении по поверхности уровня работа сил поля, так как потенциальная энергия на поверхности постоянна. С другой стороны,, следовательно,, т. е..

Рис. 1.33.

Рассмотрим некоторое скалярное поле (рис. 1.33). При перемещении по направлению вектора на величину Δ s, мы переходим из точки P ₀, в которой потенциальная энергия равна W _п, в точку P, где потенциальная энергия имеет значение W _п+Δ W _п. Производной скалярного поля по направлению вектора называют величину

.

Эта величина характеризует изменение скалярного поля при перемещении на единицу длины в заданном направлении. В направлении нормали к поверхности уровня изменение потенциальной энергии на единицу длины принимает максимальное значение. Из рисунка 1.33 видно, что, Δ n – кратчайшее расстояние между поверхностями уровня. Тогда и.

Введем понятие вектора градиента скалярного поля:

,

где – единичный вектор, направленный в сторону максимального увеличения скалярного поля. Таким образом, градиент скалярного поля – это вектор, по модулю равный изменению скалярной величины (в данном случае потенциальной энергии) на единицу длины в направлении нормали к поверхности уровня. Направлен вектор градиента перпендикулярно поверхности уровня в сторону возрастания этой скалярной величины.

В координатной форме вектор градиента потенциальной энергии можно записать как

.

Сумму частных производных по координатам, умноженных на соответствующие орты осей, называют оператором набла и обозначают следующим образом: Ñ.

.

Опрератор набла может действовать как на скалярную, так и на векторную функцию координат. Если функция скалярная, то, действуя на нее, оператор набла дает ее градиент. Запись Ñ W _п следует читать: “градиент потенциальной энергии”.

Дата добавления: 2014-01-06