Операции над событиями (сумма, разность, произведение)

Совместные и несовместные события.

Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления другого. Примеры: попадание в неразрушаемую цель двумя различными стрелками, выпадение одинакового числа очков на двух кубиках.

Два события называются несовместными (несовместимыми) в данном опыте, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. Несколько событий называются несовместными, если они попарно несовместны. Примеры несовместных событий: а) попадание и промах при одном выстреле; б) из ящика с деталями наудачу извлечена деталь – события “извлечена стандартная деталь” и “извлечена нестандартная деталь” в) разорение фирмы и получение ею прибыли.

Другими словами, события А и В совместны, если соответствующие множества А и В имеют общие элементы, и несовместны если соответствующие множества А и В не имеют общих элементов.

При определении вероятностей событий часто используется понятие равновозможных событий. Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условиям симметрии есть основание считать, что ни одно из них объективно не является более возможным, чем другие (выпадение герба и решки, появление карты любой масти, выбор шара из урны и т.п.)

С каждым испытанием связан ряд событий, которые, вообще говоря, могут появляться одновременно. Например, при бросании игральной кости событие есть выпадение двойки, а событие – выпадение четного числа очков. Очевидно, что эти события не исключают друг друга.

Пусть все возможные результаты испытания осуществляются в ряде единственно возможных частных случаев, взаимно исключающих друг друга. Тогда

ü каждый исход испытания представляется одним и только одним элементарным событием;

ü всякое событие , связанное с этим испытанием, есть множество конечного или бесконечного числа элементарных событий;

ü событие происходит тогда и только тогда, когда реализуется одно из элементарных событий, входящих в это множество.

Произвольное, но фиксированное пространство элементарных событий , можно представить в виде некоторой области на плоскости. При этом элементарные события – это точки плоскости, лежащие внутри . Поскольку событие отождествляется с множеством, то над событиями можно совершать все операции, выполнимые над множествами. По аналогии с теорией множеств строится алгебра событий. При этом могут быть определены следующие операции и соотношения между событиями:

A Ì B (отношение включения множеств: множество А является подмножеством множества В) – событие A влечет за собой событие В. Иначе говоря, событие В происходит всякий раз, как происходит событие A. Пример - выпадение двойки влечет за собой выпадение четного числа очков.

(отношение эквивалентности множеств) – событие тождественно или эквивалентно событию . Это возможно в том и только в том случае, когда и одновременно , т.е. каждое из них происходит всякий раз, когда происходит другое. Пример – событие А – поломка прибора, событие В – поломка хотя бы одного из блоков (деталей) прибора.

() – сумма событий. Это событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из двух событий или (логическое "или"). В общем случае, под суммой нескольких событий понимается событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Пример – цель поражена первым орудием, вторым или обоими одновременно.

() – произведение событий. Это событие, состоящее в совместном осуществлении событий и (логическое "и"). В общем случае, под произведением нескольких событий понимается событие, состоящее в одновременном осуществлении всех этих событий. Таким образом, события и несовместны, если произведение их есть событие невозможное, т.е. . Пример – событие А – вынимание из колоды карты бубновой масти, событие В – вынимание туза, тогда - появление бубнового туза.

– разность событий. Это событие, состоящее из исходов, входящих в , но не входящих в . Оно заключается в том, что происходит событие , но при этом не происходит событие . Пример – А – сдача экзаменационной сессии, В – получение степени, тогда А-В – сдача сессии с недостаточно высоким для получения стипендии результатом.

Противоположным (дополнительным) для события (обозначается ) называется событие, состоящее из всех исходов, которые не входят в .

Наступление события означает просто что событие не наступило.

Часто оказывается полезной геометрическая интерпретация операций над событиями. Графическая иллюстрация операций называется диаграммами Венна.

Дата добавления: 2014-01-06