Модели и моделирование

Тема №1

Тема №9.

Тема № 8.

Тема № 7.

Тема № 6.

Тема № 5.

Тема № 4.

Тема № 3

Тема №2

Тема №1.

Новочеркасск 2008

Содержание

Модели и моделирование.

Погрешности численных методов.

Свойства численного решения.

Аппроксимация функций.

Метод 1. Интерполяционная формула Лагранжа.

Метод 2. Сплайны.

Метод 3. Сплайны третьей степени.

Метод 4. Метод наименьших квадратов.

Решение нелинейных уравнений.

Метод 10. Метод половинного деления.

Метод 11. Метод простых итераций.

Метод 12. Метод хорд.

Метод 13. Метод Ньютона (касательных).

Решение систем линейных уравнений.

Метод 14. Метод Гаусса.

Метод 15. Метод прогонки.

Метод 16. Метод уточнения решения.

Метод 17. Метод Гаусса-Зейделя.

Решение систем не линейных уравнений.

Метод 18. Метод простой итерации.

Метод 19. Метод Ньютона для системы уравнений.

Метод 20. Метод возмущения параметров.

Численное интегрирование.

Метод 21. Метод прямоугольников

Метод 22. Метод трапеций.

Метод 23. Метод Симпсона

Метод 24. Метод Гаусса.

Метод 26. Метод Монте-Карло.

Метод 27. Метод Монте-Карло для вычисления кратных интегралов.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).

Метод 28. Метод Эйлера.

Метод 29. Модифицированный метод Эйлера.

Метод 30. Метод Рунге-Кутта.

Метод 31. Метод Рунге-Кутта для решения систем ОДУ.

Метод 32. Метод Рунге-Кутта для ОДУ высших порядков.

Метод 33. Метод стрельбы.

Метод 34. Метод конечных разностей (МКР) (метод сеток).

Решение дифференциальных уравнений с частными производными.

Уравнение теплопроводности.

Метод 35. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности.

Метод 36. Не явная разностная схема для уравнения теплопроводности.

Задачи оптимизации.

Метод 37. Метод половинного деления.

Метод 38. Метод золотого сечения.

Метод 39. Метод покоординатного подъёма (спуска).

Метод 40. Метод градиентного подъёма (спуска).

Метод 41. Метод наискорейшего подъёма.

Тема № 10.

Задания для самостоятельной проработки.

Транспортная задача.

Задача о ресурсах.

Волновое уравнение.

Уравнение Лапласа.

Численные методы используются при моделировании. В научной и инженерной практике возникают задачи исследования различных явлений, свойств, оптимизации процессов и другие. Эти задачи можно решать как с помощью моделирования, так и экспериментально. Но экспериментальный метод не всегда разумен, по причине

1) высокой стоимости;

2) уникальности;

3) недоступности объекта исследования.

Например, исследование недр звёзд и планет невозможно, а при конструировании самолёта требуется проведение обширных экспериментальных исследований, выполнение которых с помощью настоящего самолёта потребует огромных материальных затрат.

Во всех этих случаях реальное явление, объект (его ещё называют оригиналом) заменяется моделью.

Исследование явлений и объектов с помощью их моделей называется моделированием.

Таким образом, с помощью моделирования исследуются процессы и явления, которые невозможно или неудобно исследовать экспериментальным методом.

Существует множество видов моделей. Если модель и моделируемый объект имеют одну и ту же физическую природу, то говорят о физической модели. При конструировании физической модели необходимо выделять существенные черты и свойства оригинала, а второстепенные черты и свойства моделируемого объекта наоборот можно не учитывать.

Простейшей физической моделью является материальная точка (частица). Единственным существенным свойством частицы является её масса. Всеми остальными свойствами частицы (формой, составом, цветом, температурой и т.д.) можно пренебречь.

При использовании модели, необходимо чётко представлять в каких условиях и для исследования, каких явлений применение данной модели корректно.

Физическая модель “частица” может применяться для исследования механического движения тел, размеры которых мал в сравнении с характерным для данной задачи масштабом.

Модель “частица” важна, так как любое тело (жидкое, твёрдое, газообразное) можно представить как совокупность частиц. Для того чтобы представить тело как совокупность частиц нужно мысленно разбить его на несколько частей, размеры которых малы в соответствии с масштабом задачи.

Движение частицы описывается законами Ньютона, а свойства тела определяется движением частицы. С помощью законов Ньютона можно описать движение тела и изменение его свойств с течением времени.

Таким образом, то, что происходит в данный момент времени, определяет состояние тела в будущем, то есть существует некая определённость, детерминизм. Идея детерминизма была сформулирована Лапласом в 18 в. и частично отражала религиозные веяния того времени. Она предполагала наличие некого первотолчка (под которым подразумевался Бог), определившего всё случившееся в последствии.

Но в 20в. исследование микрочастиц показало, что к ним законы Ньютона неприменимы.

Движение микрочастиц подчиняется законам квантовой физики, а эти законы показывают вероятность нахождения частицы. Таким образом, движение микрочастиц носит недетерминированный, вероятностный характер.

Более сложными моделями являются модель абсолютно твёрдого тела и модель сплошной среды.

В качестве физических моделей могут использоваться некоторые материальные конструкции. Необходимым условием физической модели в этом случае является геометрическое и физическое подобие модели и оригинала.

Геометрическое подобие отражает одинаковое уменьшение всех частей объекта, то есть соотношение между величиной частей оригинала и модели должно быть постоянным.

Физическое подобие означает, что в сходственные моменты времени и в подобных точках пространства значение величин характеризующих явление для модели и оригинала должны быть пропорциональны друг другу. Это позволяет производить пересчет результатов полученных с помощью модели для оригинала.

Для этого необходимо из величин характеризующих явление сконструировать безразмерные комбинации, которые называют критериями подобия.

Физически подобными модель и оригинал будут в том случае, если критерии подобия для них имеют одинаковые значения.

Например, исследуется течение жидкости по трубам различного диаметра. Очевидно, что характер течения зависит от диаметра трубы (d), от скорости течения жидкости (ν), от вязкости жидкости (μ) и ее плотности (ρ). Все эти величины являются размерными, но из них можно сконструировать безразмерную величину.

число Рейнольдса

Пусть диаметр трубы оригинала равен 10 метров, тогда исследовать течение жидкости через трубу экспериментальным методом будет достаточно проблематично. Поэтому логичней будет воспользоваться моделированием.

Возьмём трубу с меньшим диаметром, но так, чтобы число Рейнольдса оставалось постоянным. Тогда полученные результаты можно пересчитать с помощью критерия подобия, так как течения при одинаковом значении числа Рейнольдса будут физически подобными.

Характер течения зависит от значения числа Рейнольдса, если;

Re < 1, то течение будет ламинарным;

Re > 1, то течение будет турбулентным;

Re = 1, то течение будет переходным.

Например, при исследовании конструкции самолёта, его уменьшенную модель помещают в гидродинамическую трубу, где её обдувает воздух. То есть, чтобы число Рейнольдса оставалось постоянным нужно увеличить скорость или плотность. За диаметр берётся размер самолёта.

Некоторые явления можно исследовать путём изучения какого-либо явления иной физической природы, но описываемого теми же математическими соотношениями, что и моделируемое явление.

Например, электрические и механические колебания описываются одними и теми же дифференциальными уравнениями, поэтому с помощью механических колебаний можно моделировать электрические колебания и наоборот. Такое моделирование называют аналоговым.

Например, при постройке моста важно рассчитать частоту его колебаний, чтобы предотвратить его разрушение. Но создавать модель моста для проведения расчетов невыгодно, поэтому для облегчения можно решить дифференциальное уравнение, собрав электронную цепь и измерить нужные значения с помощью вольтметра и амперметра.

Физическую модель можно исследовать экспериментально, однако есть другой весьма эффективный способ исследования модели и решения с её помощью поставленных задач. Для этого на основе физических законов и других соображений, например, предположений имеющих характер гипотез, строится система математических соотношений (равенств, неравенств, уравнений и других логических конструкций). Эти соотношения отображают с помощью математической символики содержательную постановку задач. Совокупность этих соотношений называется математической моделью поставленной задачи, а решение этих соотношений называется математическим моделированием. Процесс математического моделирования подразделяется на три этапа:

1 этап Постановка задачи, определение объекта и цели исследования, определение факторов изучения. Формирование законов, связывающих объекты и факторы модели. Первый этап завершается записью математических терминов, соотношений между объектами моделей, тем самым физическая или техническая задача сводится к математической.

Построение математической модели является одним из наиболее сложных и ответственных этапов работы. Трудность первого этапа связана с необходимостью соединения математических и специальных знаний и с возможной неопределённостью и неоднозначностью задачи Неопределённость связана с тем, что не до конца ясна сама цель решаемой задачи. А при формулировке она выясняется и формируется четко и ясно. Для формирования математической модели поставленной задачи необходимо соединение самых разнородных знаний. Человек, занимающийся математическим моделированием должен быть первоклассным физиком, он должен знать какие законы используются и какие из этих законов нужно выделить, а какие следует опустить. Также он должен быть отличным техником, а при формулировке математической модели он должен быть отличным математиком и хорошо знать численные методы.

Правильно выбранная математическая модель решает поставленную задачу на 50%. Математическая модель не определяется однозначно исследуемым объектом. Для её разработки необходимо сформулировать упрощающие предположения, лежащие в основе модели. Установить какие факторы необходимо учитывать и степень точности этих факторов. Неоднородность модели связана с выбором факторов, одни из этих факторов важны, другие мы можем не учитывать. Хотя если мы неверно определим степень важности факторов, то построенная нами модель будет не верна.

2 этап На этом этапе производится исследование математической задачи, её решение. Иногда, полученную математическую задачу, возможно, решить аналитически, однако, в большинстве случаев это невозможно, и тогда для решения задачи используют численные методы.

3 этап На этом этапе выясняется вопрос о достоверности полученных результатов, о согласии теоретических следствий модели с реально наблюдаемыми результатами. При этом делается вывод о правильности или неправильности положений лежащих в основе математической модели и при необходимости рассматриваемая модель уточняется или отвергается. Основным критерием истинности модели является эксперимент, практика в широком смысле слова.

Как уже говорилось ранее, модель неоднозначно определяется исследуемым объектом. Решение начинается с построения и анализа простейшей и наиболее грубой модели изучаемого объекта. А в затем решается вопрос о дальнейшем уточнении модели. Чтобы уточнить модель нужно вернуться в начало и исправить начальные условия.

Рассмотрим пример построения математической модели.

Пусть поставлена следующая задача: Камень с помощью катапульты брошен со скоростью (), под углом () к поверхности земли. Требуется найти расстояние до точки падения камня.

Для получения математической модели используем следующие упрощающие предположения.

1) камень мы рассмотрим как материальную точку, частицу;

2) земля является инерциальной системой отсчета;

3) кривизной земли можно пренебречь и считать её плоской;

4) действие воздуха на движение камня можно пренебречь;

5) ускорение свободного падения есть величина постоянная.

При выборе упрощающих предположений необходимо учитывать конкретные особенности решаемой задачи. При других условиях той же задачи некоторые из упрощающих предположений использовать нельзя.

Перейдём к построению математической модели с учетом сделанных предположений.

Введем систему координат, её начало совместим с катапультой. Ox направим горизонтально, в сторону движения камня, а Oy вертикально вверх. Момент броска камня примем за начальный момент времени.

x

y

g

α

При сделанных предположениях движение камня определяется вторым законом Ньютона, который в данном случае принимает вид:

Второй закон Ньютона дополняется начальными условиями:

Эти три уравнения составляют математическую модель решённой задачи.

Нужно записать соотношения покомпонентно:

Используя, найдём момент времени,

- это время полета камня

Из условия,

Подставляя найденное время в формулу

Предположим, результаты третьего этапа моделирования неудовлетворительны и мы приходим к выводу о необходимости уточнения модели. При этом может оказаться, что уточнение модели приведёт к возникновению ряда проблем, в результате чего реального улучшения модели может и не произойти.

Предположим для уточнения модели необходимо учесть силу сопротивления воздуха. Для этого мы выдвигаем предположение о том, что F сопротивления пропорциональна скорости и направлена в сторону противоположную движению.

(1)

В результате по Второму закону Ньютона:

Полученное уравнение является более сложным, чем в предыдущей модели. Решаемую задачу и в этом случае можно получить аналитически, но максимальное расстояние для этой задачи аналитически найти будет невозможно.

К тому же может оказаться, что мы неверно записали формулу силы сопротивления, так как многие специалисты считают, что

Но влияние на полученный результат, может оказать и то, что значение мы знаем весьма приближенно, и погрешность, вызванная этим обстоятельством может свести на нет всю нашу работу по построению модели.

Дата добавления: 2014-01-06