Метод Ньютона (касательных)

Метод 13

Метод Хорд

Метод 12

Метод простых итераций.

Метод 11

Представим нелинейное уравнение: в виде.Это преобразование можно сделать различными способами.

Например:

Пусть является нулевым приближением корня уравнения, тогда в качестве первого приближения берем, а второе. Допустим, мы нашли приближенное значение корня на итерационном шаге, тогда (Эта формула отражает алгоритм нахождения корня методом простых итераций)

Проиллюстрируем этот метод графически:

y=x

X₂

c

y

y=F(x)

x

X₁

X₀

Итерационный процесс сходится

y=x

X₀

c

y

y=F(x)

x

X₁

X₂

Итерационный процесс расходится

Для сходимости итерационного процесса достаточно, чтобы выполнялось условие; в противном случае итерационный процесс может расходиться.

Сходимость метода может зависеть от удачного преобразования к.

Например:

- это

Предположим, что мы нашли, на концах которого меняет знак

и что в точке, а в точке

b

a

y

x

с

А

В

В методе хорд, как и в методе половинного деления на каждом итерационном шаге происходит последовательное сужение отрезка, содержащего корень. В методе хорд на каждом итерационном шаге в качестве одного из концов такого суженного отрезка берется точка пересечения хорды AB с осью OX.

Получим соотношение для определения точки С.

Получили и теперь ищем, где есть разность знаков, а дальше как в методе половинного деления.

Итерационный процесс повторяем до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность. Также как и метод половинного деления гарантировано сходится, однако в ряде случаев он имеет более быструю сходимость.

Метод Ньютона сходим с методом хорд. Его отличие от метода хорд состоит в том, что на каждом итерационном шаге вместо хорды проводится касательная к кривой и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс, которая и определяет следующее приближение корня.

Не нужно искать, сначала задается.

X_i

y

x

φ

y=F(x)

X_i+1

Получим формулу для определения корня на итерационном шаге.

На каждом итерационном шаге объём вычислений в методе Ньютона несколько больший, чем в ранее рассмотренных методах, потому что приходится находить значения не только функции, но и её производной. Однако скорость сходимости этого метода в ряде случаев значительно выше, чем в других методах. Поэтому метод Ньютона является одним из самых распространенных методов решения нелинейных уравнений.

Сходимость метода Ньютона в значительной степени зависит от выбора начального приближения, чем ближе к корню, тем сходимость лучше, поэтому иногда целесообразно использовать смешанный алгоритм. Нужно учитывать возможность расхождения.

Во всех итерационных процессах ошибка округления не накапливается. Это является одним из самых важнейших преимуществ этих методов.

Определенными особенностями обладает нахождение корней алгебраических выражений. Предположим, есть полином степени, этот полином имеет корней. Корни алгебраических уравнений можно в ряде случаев находить последовательно. Предположим сначала каким-то методом (методом половинного деления) нашли корень, после этого получаем

и строим эту функцию, решаем и находим получаем

и решаем

Дата добавления: 2014-01-06