Метод 35

Уравнение теплопроводности.

- температура в точке с координатой в момент времени

- коэффициент теплопроводности.

Любое уравнение параболического типа с постоянными коэффициентами путем соответствующих преобразований (поворотом системы координат в пространстве и изменением начала координат) может быть приведено к следующему виду:

- каноническая форма уравнения параболического типа.

Уравнение теплопроводности - параболическое уравнение. Для его решения необходимо дополнить начальными и граничными условиями.

- задает распределение температуры в начальный момент времени.

- температура на левой границе

- температура на правой границе

x

L

Граничные условия могут иметь и другой вид они могут накладывать ограничение на производную.

Численное решение поставленной задачи основано на введение разностной сетки в области решения задачи. Значение производных, начальные и граничные условия выражаются через значения функций в узлах сетки, в результате чего получается система алгебраических уравнений, называемая разностной схемой. Решая эту систему можно найти значение искомой функции в узлах сетки. Построение разностной схемы начинается с введения сетки в рассмотренную область пространства. Наиболее простыми и самыми распространенными являются прямоугольные сетки. Например, для решения задачи можно построить прямоугольную разностную сетку с шагом по координате и шагом по времени.

t

x

L

x₀

x₁

x₂

x_i

x_n

h

τ

t_j

i, j

Можно использовать сетки с неравномерным шагом и даже не прямоугольные сетки. Все зависит от конкретных условий задачи.

Коэффициенты узлов сетки имеют значения:

Этот узел будем обозначать.

Значение искомой функции в узле обозначим. Совокупность этих значений образует сеточную функцию, которая аппроксимирует значение температуры в узлах сетки.

При построении конечно-разностной схемы используется некоторый шаблон, показывающий расположение смежных узлов в двух или более слоях, которые используют при аппроксимации производных конечно-разностными соотношениями. При построении конечно-разностной схемы может использоваться следующий шаблон.

Явная разностная схема для уравнения теплопроводности.

τ

h

h

i-1

i+1

i

j+1

Используя шаблон для каждого внутреннего узла области решения апроксимируется уравнение теплопроводности

Отсюда найдем:

Используя начальные и граничные условия, находят значения сеточной функции во всех узлах на нулевом временном уровне.

Затем с помощью соотношений

находятся значения этих функций во всех внутренних узлах на первом временном уровне, после чего находим значение на граничных узлах

В результате мы находим значение функций во всех узлах на первом временном уровне. После этого с помощью этих соотношений находим все остальные значения и т.д.

В рассматриваемой разностной схеме значения искомой функции на следующем временном уровне находится непосредственно, явно с помощью формулы

Поэтому рассматриваемая разностная схема, использующая этот шаблон, называется явной разностной схемой. Точность её имеет порядок.

Данная разностная схема проста в использовании, однако она обладает существенным недостатком. Оказывается, что явная разностная схема обладает устойчивым решением только в том случае, если выполняется условие:

Явная разностная схема является условно устойчивой. Если условие не выполняется, то небольшие погрешности вычислений, например, связанные с округлением данных компьютера приводит к резкому изменению решения. Решение становится неприемлемым для использования. Это условие накладывает весьма жесткие ограничения на шаг по времени, что может оказаться неприемлемым из-за значительного увеличения времени счета решения этой задачи.

Рассмотрим разностную схему, использующую другой шаблон

Дата добавления: 2014-01-06