Алгебраическое сложение чисел, представленных в форме с плавающей запятой

Модифицированный прямой, обратный и дополнительный код

Переполнение разрядной сетки

При сложении чисел одинакового знака, представленных в форме с фиксированной запятой, может возникнуть переполнение разрядной сетки.

1. Признаком переполнения разрядной сетки при сложении чисел в прямом коде является появление единицы переноса из старшего разряда цифровой части числа.

Например:

0. 1010

+ 0. 0110

0. 0000

2. Признак переполнения разрядной сетки при сложении чисел в дополнительном и обратном коде - получение знака результата, про-тивоположного знакам операндов.

Например:

1) 0. 1100 1. 0101

+ 0. 1000 + 1. 0111

1. 0100 0. 1100

2) 0. 0111 1. 1001

+ 0. 1101 + 1. 0010

1. 0100 0. 1011

При умножении любых чисел также может возникнуть переполнение разрядной сетки.

Для обнаружения переполнения разрядной сетки в составе цифрового автомата должны быть предусмотрены аппаратные средства, автоматически вырабатывающие признак переполнения - некий сигнал переполнения.

Один из методов обнаружения переполнения разрядной сетки предполагает ввод вспомогательного разряда в знаковую часть изображения числа, который называют разрядом переполнения. Такое представление числа называют модифицированным.

Эти коды отличаются от обычных прямых, обратных и дополнительных тем, что имеют по два знаковых разряда. При выполнении арифметических действий над двоичными числами эти два знака позволяют легко определить переполнение разрядной сетки. Если содержимое этих двух разрядов совпадает, то значит переполнение отсутствует. В противном случае в компьютере вырабатывается управляющий сигнал (сигнал переполнения) либо на останов компьютера, либо на устранение переполнения разрядной сетки.

Примеры.

1) Сложить два числа в модифицированном коде:

X = 00. 01012, Y = 00. 00112, X + Y = 510 + 310 = 810

00. 0101

+ 00. 0011

00. 1000 = 810

2) Сложить X = -510 = -01012 = 11. 0101, Y = -810 = -10002 = 11. 1000

X + Y = -1310

11. 1011

+ 11. 1000

1 11. 0011 = -1310

3) Сложить X = 0,1101, Y = 0,1101, X + Y = 2610

00. 1101

+ 00. 1101

01. 1010 различные знаковые разряды свидетельствуют о переполнении разрядной сетки.

4) -8 - 8 = 0

11. 1000

+ 11. 1000

1 11. 0000.

В последнем примере получился отрицательный ноль, поэтому компьютер генерирует сигнал сбоя. Надо отметить, что в машинах 3-го и 4-го поколений модифицированный код не используется.

Нужно подчеркнуть, что при выполнении любых арифметических действий над операндами, представленными в форме с плавающей запятой, операции, выполняемые над мантиссами и порядками (или характеристиками) этих чисел, различны. Поэтому перед началом любой арифметической процедуры каждый из операндов "расчленяется": порядок (характеристика) отделяется от мантиссы операнда, что-бы можно было над ними выполнять необходимые отдельные процедуры. После выполнения конкретного арифметического действия и обязательной процедуры нормализации результата, его порядок или характеристика и мантисса "упаковываются" в обычный формат с плавающей запятой.

В случае алгебраического сложения порядки операндов обязательно должны быть одинаковыми. Поэтому в начале процедуры сложения и вычитания чисел производится, при необходимости, выравнивание характеристик операндов. Для этого мантисса операнда с меньшей характеристикой сдвигается по разрядной сетке вправо с прибавление единицы к его характеристике при каждом сдвиге на один разряд. Эта процедура продолжается до тех пор пока характеристики обоих операндов не станут равными.

Полученная таким образом характеристика, одинаковая для обоих операндов, присваивается, как предварительная, результату операции. Далее осуществляется сложение или вычитание мантисс по правилам, аналогичным для чисел с фиксированной запятой, в частности мантисса одного из операндов преобразуется в дополнительный код для того чтобы процедуру вычитания свести к сложению. Если ответ получился в дополнительном коде, то его преобразуют в прямой, т.к. мантисса числа с плавающей запятой - это всегда модуль числа. Далее, при необходимости, выполняется нормализация и округление ответа. В процессе нормализации мантисса поразрядно сдвигается влево или вправо. При сдвиге влево на каждый разряд вычитается единица из характеристики, предварительно присвоенной ответу. При каждом сдвиге вправо - к ней прибавляется единица. Отметим, что сдвиг мантиссы вправо необходим в тех случаях, когда при сложении мантисс произошло переполнение разрядной сетки. В процессе этих последних операций определяются окончательные значения характеристики и мантиссы ответа.

Таким образом, операция нормализации числа состоит из проверки выполнения условия

0,12 m 1

и сдвига изображения мантиссы в ту или иную сторону с соответствующей коррекцией характеристики. Сдвиги могут осуществляться на один и более разрядов в левую сторону, или на один разряд в правую сторону в пределах разрядной сетки машины.

Нарушение нормализации может быть двух видов: нарушение справа, т.е. когда величина результата больше или равна 1, и слева, когда величина результата оказывается меньше 0,12.

Надо отметить, что при реализации алгоритмов математических операций в формате с плавающей запятой каждый раз, когда осуществляется та или иная процедура, затрагивающая характеристики операндов или результата, производится контроль над переполнением и исчезновением порядка, т.е. контролируется условие

0 r r max,

где r max = l + p max.

Рассмотрим пример:

Имеем 8-разрядную мантиссу и 6-разрядный порядок, смещение равно 10002. Сложим 2 числа с мантиссами m1 = 0,10100000, m2 = 0,10000000 и с характеристиками r1 = 001011, r2 = 001010. Т.к. порядки разные надо их выравнивать: r1 - r2 = 000001, значит надо сдвинуть m2 на 1 разряд вправо, а к r2 прибавить 1. После преобразований получим:

m2 = 0,01000000, r2 = 001010 + 000001 = 001011. Складываем мантиссы, получаем: m = m1 + m2 = 0,10100000 + 0,01000000 = 0,11100000, r = 001011.

Нормализация ответа не нужна.

Дата добавления: 2014-01-06