Множества. Множество в математике – это произвольный набор объектов любой природы, понимаемый как единое целое

Множество в математике – это произвольный набор объектов любой природы, понимаемый как единое целое. На языке Паскаль множество – это ограниченная неупорядоченная совокупность различных элементов одного базового типа (базовый тип – это любой порядковый тип, кроме word, integer, longint). Количество элементов, входящих в множество, может быть в пределах от 0 до 255 (если число элементов множества равно 0, то это пустое множество).

Множества задаются перечнем их элементов в квадратных скобках. Описатель переменной типа множество – SET. Объявление переменной типа множества определяет базовый тип, т.е. состав элементов, из значений которых создаются конкретные значения множественного типа (подмножества), и мощность множества (максимальное количество его элементов). В качестве базового типа могут быть стандартные типы BYTE, SHORTINT, BOOLEAN, CHAR, а также перечисляемый и диапазонный тип (для целых 0.. 255).

В качестве значения переменной типа множества может быть набор всех элементов базового типа, любое их подмножество, а также пустое множество. Так как каждый элемент множества или присутствует, или не присутствует в каждом подмножестве, то общее число подмножеств определяется: если базовый тип множества содержит n элементов, то количество различных подмножеств, которые могут быть значением множества данного типа, равно 2^n. Например, для множества с базовыми элементами [1, 3, 5] подмножествами являются [ [1, 3, 5], [1, 3], [1, 5], [3, 5], [1], [3], [5], [ ] ], т.е. 8 подмножеств.

Тип переменной-множества может быть определен в разделе TYPE илиVAR. Форма определения множественного типа:

TYPE имя типа множества = SET OF базовый тип;

Пример.

TYPE MN = SET OF 2.. 100 { диапазонный тип }

VRGODA = (VESNA, LETO, OSEN, ZIMA); {перечисляемый тип }

VAR A, B: MN; { переменные типа множество MN }

C: SET OF ‘0’,.. ‘9’; { диапазон символьных данных }

SEZON: SET OF VRGODA; { перечисляемого типа }

INTEG: SET OF 0.. 255; { диапазон целого типа}

Переменные множественного типа удобно применять в задачах, где порядок данных не имеет значения, например при моделировании случайных событий. Применение множеств дает колоссальный эффект в обработке данных медицинской и технической диагностик, в решении сложных комбинаторных задач.

A:= В; здесь А – переменная типа множество, а В – выражение множественного типа.

Значения множественного типа в процессе обработки данных формируются с помощью выражений над множествами. Операндами выражений могут быть переменные и константы (конструкторы) множественного типа.

Примеры операторов присваивания значений переменным-множествам:

SEZON:= [ VESNA, ZIMA ];

DNI:= [ 14, 19 ];

A:= A + B - [25, 31 ];

В выражениях типа множества допустимы операции: (+) – объединения (сложения) множеств; (–) – разности (вычитания) множеств; (*) – пересечения (умножения) множеств.

Объединением двух множеств (А + В) является множество, состоящее из элементов, входящих хотя бы в одно из исходных множеств.

Разностью двух множеств (А – В) является множество, состоящее из элементов множества А, не входящих в множество В.

Пересечением двух множеств (А * В) является множество, состоящее из элементов, одновременно входящих в множество А и в множество В.

Примеры операторов присваивания и выражения над множествами:

VAR AQ, B, C: SET OF BYTE; ….

A:= [ 1.. 5 ]; B:= [ 3, 4, 5, 6 ];

C:= A + B; { С = [1.. 5, 6 ] }

C:= A - B; { C = [ 1, 2 ] }

C:= A * B; { C = [3, 4, 5 ] }

Над значениями множественного типа допустимы операции отношения и принадлежности:

I. Операции отношения:

= - проверка эквивалентности множеств (два множества считаются эквивалентными, когда их элементы одинаковы, причем порядок следования элементов безразличен);

<> - проверка неэквивалентности множеств;

<= - проверка вхождения;

>= - проверка включения;

Операции отношения на множествах выполняются быстрее, чем соответствующие операции на числах.

II. Операция принадлежности: A IN B. Операция IN определяет принадлежность (вхождение) А к В. Она используется для определения наличия конкретного значения А среди возможных значений В, тип которого SET. Если А входит в В, то результат операции – TRUE, иначе – FALSE.

Дополнительно к этим операциям можно использовать две процедуры:

1. Include (S, i) – включение элемента i во множество S.

2. Exclude (S, i) – исключение элемента i из множества S.

Элемент i должен иметь тот же тип, что и базовые элементы множества.

Пример.

VAR S: SET OF BYTE;

BEGIN

{ Без процедур }

S:= S + 123;

S:= S - 45;

{ С процедурами }

INCLUDE (S, 123);

EXCLUDE (S, 45);

Базовые свойства множеств:

1. Все элементы, образующие множество должны быть различны;

2. Множество представляет собой неупорядоченную последовательность элементов, т.е. порядок расположения элементов во множестве не фиксируется;

3. Если задано множество [I..J] и если I > J, то заданное множество [I..J] пустое.

Дата добавления: 2014-01-06