Понятие отношения на множестве

Лекция 20. Отношения на множестве

План:

1. Отношения на множестве. Бинарные отношения.

2. Свойства отношений

§10. ОТНОШЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ

В математике изучают не только связи между элементами двух множеств, т.е. соответствия, но и связи между элементами одного множества. Называют их отношениями.

Отношения многообразны. Между понятиями - это отношения ро­да и вида, части и целого; между предложениями - отношения следо­вания и равносильности; между числами - «больше», «меньше», «равно», «больше на...», «меньше на...», «следует» и др.

Если рассматривают отношения между двумя элементами, то их на­зывают бинарными; отношения между тремя элементами - тернарными; отношения между п элементами - n -арными. Все названные выше от­ношения являются бинарными. Примером тернарного отношения может служить отношение между точками прямой - «точка х лежит между точками у и 2».

Изучение отношений между объектами важно для познания как самих объектов, так и для познания реального мира в целом. В нашем курсе мы будем рассматривать в основном бинарные отношения, но чтобы увидеть общность методических подходов к изучению в начальном курсе математики конкретных отношений, понять важнейшие математические идеи, связанные с отношениями, учителю надо знать, какова математическая сущность любого отношения, какими свойствами они могут обладать, какие основные виды отношений изучает математика.

Чтобы определить общее понятие бинарного отношения на множестве, поступим так же, как и в случае с соответствиями, т.е. рассмотрим сначала конкретный пример. Пусть на множестве X = {2, 4, 6, 8} задано отношение «меньше». Это означает, что для любых двух чисел из множества X можно сказать, какое из них меньше: 2 < 4, 2 < 6, 2 < 8, 4 < 6, 4 < 8, 6 < 8. Полученные неравенства можно записать иначе, в виде упорядоченных пар: (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 6), (4, 8), (6, 8). Но все эти пары есть элементы декартова произведения Х х Х, поэтому об отношении «меньше», заданном на множестве X, можно сказать, что оно является подмножеством множества Х х X.

Вообще бинарные отношения на множестве X определяют следующим способом:

Определение. Бинарным отношением на множестве X называется всякое подмножество декартова произведения Х х Х.

Так как в дальнейшем мы будем рассматривать только бинарные отношения, то слово «бинарные», как правило, будем опускать.

Условимся отношения обозначать буквами R, S, T, P и др.

Если R - отношения на множестве X, то, согласно определению, R с X х X. С другой стороны, если задано некоторое подмножество множества X х X, то оно определяет на множестве X некоторое отношение R.

Утверждение о том, что элементы х и у находятся в отношении R, можно записывать так: (х, у) € R или хRу. Последняя запись читается: «Элемент х находится в отношении R с элементом у».

Отношения задают так же, как соответствия. Отношение можно задать, перечислив пары элементов множества X, находящиеся в этом отношении. Формы представления таких пар могут быть различными - они аналогичны формам задания соответствий. Отличия касаются задания отношений при помощи графа.

Построим, например, граф отношений «меньше», заданного на множестве X = {2, 4, 6, 8}. Для этого элементы множества X изобразим точками (их называют вершинами графа), а отношение «меньше» — стрелкой (рис. 93).

На том же множестве X можно рассмотреть другое отношение — «кратно». Граф этого от­ношения будет в каждой вершине иметь петлю (стрелку, начало и конец которой совпадают), так как каждое число кратно самому себе (рис. 94). Отношение можно задать при помощи пред­ложения с двумя переменными. Так, например, заданы рассмотренные выше отношения «мень­ше» и «кратно», причем использована краткая форма предложений «число x меньше числа у» и «число х кратно числу у». Некоторые такие предложения можно записывать, используя сим­волы. Например, отношения «меньше» и «кратно» можно было задать в таком виде: «x < у», «х: у». Отношение «х больше у на 3» можно записать в виде равенства х = у + 3 (или x - у = 3).

Для отношения R, заданного на множестве X, всегда можно задать отношение R^-1, ему обратное, - оно определяется так же, как соответствие, обратное данному. Например, если R - отно­шение «х меньше y», то обратным ему будет отношение «у больше x».

Понятием отношения, обратного данному, часто пользуются при начальном обучении математике. Например, чтобы предупредить ошибку в выборе действия, с помощью которого решается задача: «У Пети 7 карандашей, что на 2 меньше, чем у Бори. Сколько каран­дашей у Бори?» - ее переформулируют: «У Пети 7 карандашей, а у Бори на 2 больше. Сколько карандашей у Бори?» Видим, что перефор­мулировка свелась к замене отношения «меньше на 2» обратным ему отношением «больше на 2».

Дата добавления: 2014-01-06