КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
В чистом исчислении предикатов К фл А выводима тогда и только тогда, когда А есть озф
Мы докажем только половину (более лёгкую) этой теоремы. Относительно второй половины скажем только, что она есть следствие следующих двух утверждений: а) лемма Линденбаума: если теория первого порядка непротиворечива (в частности, чистое исчисление предикатов), то существует ее полное непротиворечивое расширение (т.е. расширение, в котором для любой замкнутой фл выводимы либо сама фл, либо её отрицание); в) всякая непротиворечивая теория первого порядка (в частности, чистое исчисление предикатов) имеет счётную модель (модель, у которой область D счётная). Доказательство первой половины Утверждения 2.2.1. Легко проверить, что любой пример любой схемы аксиом является озф (проверьте этот факт!). Также, нетрудно видеть (частично это уже делалось в пункте 1.2 в самом конце), что понятие озф сохраняется при применении правил вывода МР и Gen. Следовательно, всякая теорема исчисления К является озф. Также, как следствие первой половины нашего Утверждения 2.2.1, получаем ещё одно доказательство непротиворечивости исчисления К (проделайте это самостоятельно). Пусть А – фл с одной точно свободной пп (наше ограничение сделано для простоты рассмотрения). Рассмотрим фл А(x) и A(y), где x и y – разные переменные. Фл выше называются подобными, если пп x свободна для пп y в фл А(y) и А(y) не имеет свободных вхождений пп x. Нетрудно видеть, что наше отношение подобия симметрично. Утверждение 2.2.2. Если фл А(x) и А(y) подобны, то "xA(x) º "yA(y). Доказательство. По схеме аксиом А4 "xA(x) ® A(y). Теперь применим правило Gen: "y("xA(x) ® A(y)) и, по схеме аксиом А5, имеем "xA(x) ® "yA(y). Вторая половина Утверждения 2.2.2 доказывается аналогично в силу симметрии. Применяя тавтологию А®(В®(АÙВ)) (которая выводима в К, Утверждение 2.1.1), завершаем доказательство.
Задача. Докажите, что если фл А(x) и А(y) подобны, то $xA(x) º $yA(y). Указание. Формула $xA(x) = Ø"xØA(x). Замечание. Теорема о полноте была впервые доказана К. Гёделем (т.н. первая теорема Гёделя) в 1930 г. и её оригинальное доказательство было совсем другим. Мы приведём сейчас несколько следствий из теоремы о полноте, которые очень парадоксальны. а) фл А истинна в каждой счётной модели Û К А; в) если фл В является следствием множества фл Г, то Г К А; с) теорема Сколема – Лёвенгейма: если теория К (любая теория первого порядка!) имеет какую-нибудь модель, то она имеет счётную модель (и это несмотря на то, что в формальной теории К речь может идти о несчётных множествах! Пример: теория множеств Цермело-Френкеля является теорией первого порядка). Следствие (конечно, не прямо из теоремы о полноте, а из доказательства второй её половины) достаточно парадоксальное. В завершение изучения исчисления предикатов К приведем еще несколько дополнительных метатеорем (метатеоремой называется утверждение о свойствах какой-либо формальной теории) и рассмотрим вопрос о приведении фл языка теории К к некоторому важному стандартному (т.н. предваренному нормальному!) виду. Утверждение 2.2.3. (правило индивидуализации) "xА(x) А(y) Использовать схему аксиом А4 и правило МР. Утверждение 2.2.4. Если пп x не свободна в фл А, то следующие фл являются теоремами теории К: а) А® "xА(x); в) $xА(x)®А; с) "x(A®B)º(A®"xB); d) "x(В®А)º($xВ®А). Задача. Докажите последнее Утверждение 2.2.4 самостоятельно. Указание. Воспользуйтесь исчислением К4. Утверждение 2.2.5. (правило существования) А(y)®$xА(x) (пп y не входит свободно в фл $xА(x)). Доказательство. По аксиоме А4 "xØА(x)®ØА(y). Из тавтологии (А®ØВ)®(В®ØА) по МР получаем А(y)®Ø"xØА(x) и А(y)®$xА(x), ч.т.д.
Приведём теперь ещё без доказательства правило переименования связанных пп. Утверждение 2.2.6. (правило переименования связанных пп). Если "xВ(x) есть подформула фл А, фл В(y) подобна фл В(x) и А· есть результат замены по крайней мере одного вхождения "xВ(x) в А на "yВ(y), то АºА·. Наконец, приведем т.н. правило С, сделав предварительно небольшой комментарий. В математике распространены выводы следующего типа. Пусть доказано утверждение вида $xА(x). Тогда рассуждают так: если а есть объект такой, что верно А(а), то… (проводим некоторое рассуждение)… получим фл В, которая уже не содержит произвольно выбранного объекта а. Отсюда заключают, что верно утверждение $xА(x) ® В. На самом деле выбор элемента а со свойством А не нужен и в выводе в К можно обойтись без этого выбора. Мы не будем приводить как точную формулировку, так и обоснование правила С, а заметим только, что можно определить понятие вывода в К с правилом С и доказать, что если есть вывод в теории К с правилом С, то есть вывод просто в теории К (за более точными формулировками и доказательствами относительно правила С отсылаем читателя к книге Мендельсона «Введение в математическую логику», М., Мир, 1971 г., стр. 83-85). Завершая изучение чистого исчисления предикатов К, докажем, что всякую фл А языка теории К можно привести к следующему, назовём его предваренным нормальным, виду: Q1x1Q2x2…QnxnB, где каждое Qi есть либо квантор ", либо Ø", а фл В кванторов не содержит. Утверждение 2.2.7. Всякая фл равносильна (в смысле общезначимости, а значит и в смысле выводимости в К) некоторой фл в предваренной нормальной форме. Доказательство. Следующие фл являются озф при условии, что y не входит свободно ни в А, ни в В: I) ("xA(x)®B) º $y(A(y)®В); II) $xА(x)®В º "y(A(y)®B); III) В®"xА(x) º "y(B®A(y); IV) B®$xA(x) º $y(B®A(y)). На фл в пунктах Y и YI предыдущее ограничение на y не распространяется. Y) Ø"xA º $xØA; YI) Ø$xA º "xØA. Общезначимость фл в Y) и YI) доказывается очень просто (докажите самостоятельно). Докажем, что фл из I) есть озф. Пусть фиксированы интерпретация и оценка. Предположим, что истинна (при данных интерпретации и оценке) фл $y(A(y)®B) (напомним, что переменая y не входит свободно в В. Без ограничения общности считаем, что В – замкнутая фл и что в фл А свободно входит только переменная х. Это означает, что найдется элемент dÎ D (D – область интерпретации) такой, что истинна фл А(d)®В. Если для всякого dÎ D. А(d) – истинная фл, то и В – то же истинная фл и тогда истинна фл "хА(х)®В. Если же А(d) истинна не для всякого d, то истинна фл "хА(х)®В в силу ложности посылки. Обратно, предположим, что "хА(х) – ложная фл. Но тогда для некоторого d фл А(d) – ложна и, следовательно, фл $y(A(y)®B) – истинна. Если же "хА(х) – истинная фл, то В – истинная фл и фл $y(A(y)®B) также истинна. Общезначимость фл из пункта II доказывается аналогично.
Задача. Докажите, что фл III и IV также есть озф. Утверждение 2.2.7 доказано. Это доказывает возможность приведения каждой фл исчисления К к предваренной нормальной форме. Вопросы и упражнения к Лекции 2. 1. Какие свойства исчисления предикатов Вы знаете? 2. Верно ли, что исчисления предикатов непротиворечиво? Полно? (заметим, что в 1936 г. А.Чёрч доказал, что исчисление предикатов неразрешимо; но исчисление одноместных предикатов оказывается всё же разрешимо!) 3. Докажите, что исчисление предикатов непротиворечиво. 4. Сформулируйте теорему о дедукции для исчисления предикатов. 5. Что такое предваренный нормальный вид для формулы? 6. Верно ли, что любая формула исчисления предикатов приводима к этому виду (эквивалентным образом)? 7. Что такое правило индивидуализации? 8. Что такое правило переименования связанных переменных? 9. Сформулируйте правило существования. 10.Тот же вопрос для правила С.
Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 595; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |