Множина дійсних чисел та її властивості

Розв’язання.

Оскільки Ö3=1,7320508… і Ö2=1,4142135…, то знайдемо десяткові наближення цих чисел з точністю до сотих. Маємо 1,73≤Ö3≤1,74 і 1,41≤Ö2≤1,42. Тоді 1,73:1,42≤Ö3:Ö2≤1,74:1,41. Отже, 1,21≤Ö3:Ö2≤1,23. Випадки а) і б) пропонуємо студентам розглянути самостійно.

6. Означення: об’єднання множини раціональних чисел та множини додатних і від’ємних ірраціональних чисел називають множиною дійсних чисел.

Основними властивостями цієї множини є наступні.

Властивість 1: множина дійсних чисел впорядкована.

Властивість 2: множина дійсних чисел незчисленна.

Властивість 3: множина дійсних чисел замкнена відносно операцій додавання, віднімання, множення та ділення, крім ділення на нуль.

Властивість 4: між множиною дійсних чисел і множиною точок числової прямої існує взаємно однозначна відповідність.

Означення: говорять, що множина А має потужність континууму, якщо вона еквівалентна множині дійсних чисел R.

У математиці доведено, що будь-який числовий проміжок числової прямої є множиною потужності континууму.

Запитання для самоконтролю та самостійної роботи студентів за модулем У.

1. Сформулювати теорему про існування та єдиність операції додавання у множині цілих чисел.

2. Сформулювати теореми, які виражають закони, яким підкоряється операція додавання у множині цілих чисел.

3. Сформулювати теорему про існування та єдиність операції віднімання у множині цілих чисел.

4. Сформулювати теорему про існування та єдиність операції множення у множині цілих чисел.

5. Сформулювати теореми, які виражають комутативний, асоціативний та дистрибутивний закони, яким підкоряється операція множення у множині цілих чисел.

6. Довести самостійно другу частину теореми, яка виражає основну властивість дробу.

7. Довести самостійно комутативний закон додавання невід’ємних раціональних чисел.

8. Довести методом від супротивного теорему про єдиність різниці невід’ємних раціональних чисел.

9. Довести самостійно комутативний закон множення невід’ємних раціональних чисел.

Розподіл годин по семестрах для спеціальності 8.010102- початкова освіта.

Форма навчання: денна. Спеціальність: початкова освіта. Кваліфікаційний рівень: бакалавр. Термін навчання: 4 роки.

Курс

Семестр

Лекції (годин)

Практично-семінарські (годин)

Лабораторних (годин)

Індивідуальна робота (годин)

Всього

Самостійна робота (годин)

Контроль

Кредитів

Контрольні роботи

Колоквіуми

Екзамени

Заліки

Курсові

ІНДЗ

Кваліфікаційний іспит

Державний екзамен

-

+

-

-

+

-

-

-

+

-

-

+

-

-

-

+

-

-

+

-

-

Всього:

-

-

-

-

1(10 с.)

Структура залікового кредиту курсу для спеціальності 8.010102 – початкова освіта

Модулі, змістовні модулі, теми.	Лекції	Практичні заняття	Індивідуальна робота	Самостійна робота
ІІ семестр
Модуль 3. «Різні підходи до побудови арифметики цілих невід’ємних чисел.».
Змістовний модуль 3.1. (ЗМ31):«Теоретико-множинний підхід до побудови арифметики цілих невід’ємних чисел».			-
Змістовний модуль 3.2. (ЗМ32): «Аксіоматична побудова арифметики цілих невід’ємних чисел».
Змістовний модуль 3.3. (ЗМ33): «Натуральне число як результат вимірювання величини».			-
Всього годин на модуль:
Модуль 4. «Системи числення. Подільність чисел.».
Змістовний модуль 4.1. (ЗМ41): «Системи числення».
Змістовний модуль 4.2. (ЗМ42): «Подільність цілих невід’ємних чисел».
Всього годин на модуль:
Модуль 5. «Розширення поняття про число.».
Змістовний модуль 5.1. (ЗМ51):«Цілі числа».			-
Змістовний модуль 5.2. (ЗМ52): «Раціональні числа».
Змістовний модуль 5.3. (ЗМ53): «Дійсні числа».			-
Всього годин на модуль:
Всього годин на семестр:

Розподіл годин по семестрах для спеціальності 8.010101- дошкільна освіта, початкова освіта.

Форма навчання: денна. Спеціальність: дошкільна освіта, початкова освіта. Кваліфікаційний рівень:бакалавр. Термін навчання: 4 роки.

Курс

Семестр

Лекції (годин)

Практично-семінарські (годин)

Лабораторних (годин)

Індивідуальна робота (годин)

Всього

Самостійна робота (годин)

Контроль

Кредитів

Контрольні роботи

Колоквіуми

Екзамени

Заліки

Курсові

ІНДЗ

Кваліфікаційний іспит

Державний екзамен

-

-

+

-

+

-

-

-

+

-

-

+

-

-

Всього:

-

-

?

-

1 (10 с)

Структура залікового кредиту курсу для спеціальності 8.010101 – дошкільна освіта, початкова освіта.

Модулі, змістовні модулі, теми.	Кількість годин, відведених на:
Лекції	Практичні заняття	Самостійна робота	Індивідуальна робота
ІІ семестр
Модуль 5. «Розширення поняття про число.».
Змістовний модуль 5.1. (ЗМ51):«Цілі числа».				-
Змістовний модуль 5.2. (ЗМ52): «Раціональні числа».				-
Змістовний модуль 5.3. (ЗМ53): «Дійсні числа».
Всього годин на модуль:
Модуль 6. «Вирази. Рівняння. Нерівності. Функції.».
Змістовний модуль 6.1. (ЗМ61):«Вирази».
Змістовний модуль 6.2. (ЗМ62): «Рівняння, їх системи та сукупності».				-
Змістовний модуль 6.3. (ЗМ63): «Нерівності, їх системи та сукупності».				-
Змістовний модуль 6.4. (ЗМ64): «Функції».				-
Всього годин на модуль:
Модуль 7. «Елементи геометрії. Величини.».
Змістовний модуль 7.1. (ЗМ71): «Геометричні побудови на площині».				-
Змістовний модуль 7.2. (ЗМ72): «Многогранники та тіла обертання».
Змістовний модуль 7.3. (ЗМ73): «Величини та їх вимірювання».
Всього годин за модуль:
Всього годин за семестр:
Всього годин за курс:

Теми практичних занять для спеціальності 8.010102 –початкова освіта.

2 семестр
1.	Теоретико-множинний підхід до побудови множини цілих невід’ємних чисел.
2.	Теоретико-множинне тлумачення арифметичних дій та їх властивостей.
3.	Аксіоматична побудова множини цілих невід’ємних чисел. Метод математичної індукції. Аксіоматичне означення арифметичних дій. Ділення з остачею.
4.	Натуральне число як міра величини. Арифметичні дії над числами, що є мірами довжини відрізка. Властивості множини цілих невід’ємних чисел.
5.	Системи числення. Дії у різних позиційних системах числення. Перехід від однієї системи до іншої.
6.	Відношення подільності та його властивості. Теореми про подільність. Ознаки подільності.
7.	НСД і НСК, їх властивості. Ознаки подільності на складені числа.
8.	Означення і властивості простих і складених чисел. Решето Ератосфена. Канонічна форма запису натурального числа.
9.	Основна теорема арифметики. Знаходження НСД і НСК.
10.	Цілі числа. Раціональні числа.
11.	Дії над раціональними числами. Відношення порядку на множині раціональних чисел.
12.	Дії над десятковими дробами. Розв'язування задач на проценти.
13.	Перетворення звичайних дробів у десяткові та періодичних дробів у звичайні.
14.	Дії над ірраціональними числами. Округлення чисел.
	Контрольна робота № 1.“Різні підходи до побудови множини цілих невід’ємних чисел. ММІ. Відношення подільності.”	с/р
	Контрольна робота № 2. “НСД і НСК. Дії над звичайними дробами.”.	с/р
	Контрольна робота № 3. “Дії над десятковими дробами. Періодичні дроби.”.	с/р
Всього годин у 2 семестрі:

Теми практичних занять для спеціальності 8.010101 – дошкільна освіта, початкова освіта.

2 семестр
1.	Теореми про подільність. Ознаки подільності.
2.	Знаходження простих чисел в заданому проміжку.
3.	Спрощення дробів. Зведення дробів до спільного знаменника. Дії над звичайними дробами.
4.	Перетворення звичайних дробів у десяткові і навпаки. Дії над десятковими дробами.
5.	Дійсні числа та дії над ними.
6.	Тотожні перетворення виразів. рівняння з однією змінною. Розв’язування рівнянь.
7.	Рівняння з двома змінними. Графічний спосіб розв’язування рівнянь. Система та сукупність рівнянь з двома змінними. алгебраїчні способи їх 3розв’язування. Системи та сукупності нерівностей.
8.	Площа плоскої фігури. Знаходження площ: трикутника, паралелограма, трапеції.
9.	Основні геометричні побудови циркулем та лінійкою.
Всього годин у 2 семестрі:
Всього годин:

Завдання для самостійної роботи для спеціальності 8.010102 – початкова освіта.

2 семестр
1.	Теоретико-множинний підхід до побудови множини цілих невід’ємних чисел.
2.	Теоретико-множинне тлумачення арифметичних дій та їх властивостей.
3.	Аксіоматична побудова множини цілих невід’ємних чисел. Аксіоматичне означення арифметичних дій.
4.	Методика побудови таблиць додавання та множення.
5.	Метод математичної індукції.
6.	Ділення з остачею.
7.	Міра величин. Співвідношення між ними. Величини в початковому курсі математики.
8.	Натуральне число як міра величини. Арифметичні дії над числами, що є мірами довжини відрізка.
9.	Властивості множини цілих невід’ємних чисел.
10.	Системи числення. Перехід від запису чисел в одній системі числення до запису в іншій.
11.	Арифметичні дії над числами у позиційних системах числення, відмінних від десяткової.
12.	Приклади використання позиційних недесяткових систем. Розв’язування рівнянь в різних системах числення.
13.	Відношення подільності та його властивості. Теореми про подільність суми, різниці та добутку.
14.	Прості і складені числа. Ознаки подільності.
15.	НСД і НСК, їх властивості. Ознаки подільності на складені числа.
16.	Основна теорема арифметики. Знаходження НСД і НСК.
17.	Цілі числа. Алгоритми дій у множині цілих невід’ємних чисел.
18.	Раціональні числа. Відношення порядку на множині раціональних чисел.
19.	Звичайні дроби. Дії над звичайними дробами. Розв’язування задач із початкового курсу математики.
20.	Дії над десятковими дробами. Розв'язування задач на проценти.
21.	Перетворення звичайних дробів у десяткові та періодичних дробів у звичайні.
22.	Дії над ірраціональними числами. Округлення чисел.
Всього годин за 2 семестр:

Завдання для самостійної роботи для спеціальності 8.010101 – дошкільна освіта, початкова освіта.

2 семестр
1.	Числові та буквені вирази. Знаходження області визначення виразів зі змінною. Тотожні перетворення виразів. Тотожності.
2.	Система виразів у початковій школі. Спрощення виразів. Читання виразів.
3.	Числові рівності та нерівності. Рівняння та нерівності з однією змінною.
4.	Системи та сукупності рівнянь з двома змінними. Алгебраїчні способи їх розв'язування.
5.	Рівняння з двома змінними. Рівняння прямої і кола. Графічний спосіб розв'язування рівнянь та систем рівнянь з двома змінними.
6.	Система та сукупності нерівностей з однією змінною.
7.	Застосування рівнянь та їх систем до розв'язування текстових задач.
8.	Розв’язування різними способами задач за початкову школу.
9.	Числові функції та побудова їх графіків.
10.	Функціональні залежності між пропорційними величинами.
11.	Побудова геометричних фігур за допомогою циркуля та лінійки.
12.	Многогранники та тіла обертання.
13.	Геометричний матеріал і його місце в початковій школі.
14.	Довжина та її властивості. Розв’язування задач.
15.	Площа та її властивості. Розв’язування задач.
16.	Площа геометричних фігур.
17.	Об’єм та його властивості. Розв’язування задач.
Всього годин за 2 семестр:
Всього годин за рік:

Навчальний проект для спеціальності 8.010102 – початкова освіта.

(індивідуальні навчально-дослідні завдання)

ІІ семестр
1.	Кількісні натуральні числа в курсі математики початкових класів.
2.	Порядкові натуральні числа в курсі математики початкових класів.
3.	Натуральні числа як результат вимірювання величин в курсі математики початкових класів.
4.	Системи числення та теорія подільності в курсі математики початкових класів.
5.	Дроби в курсі математики початкових класів.
Всього годин за ІІ семестр:

Навчальний проект для спеціальності 8.010101 – дошкільна освіта, початкова освіта (індивідуальні навчально-дослідні завдання).

ІІ семестр
1.	Система виразів, рівнянь і нерівностей в курсі математики початкових класів.
2.	Функціональні залежності та функції в курсі математики початкових класів.
3.	Геометричні фігури та їх властивості в курсі математики початкових класів.
4.	Величини та їх властивості в курсі математики початкових класів.
Всього годин за ІІ семестр:
Всього годин за два семестри:

Розподіл балів за видами занять для спеціальності 8.010101 - початкова освіта.

№ п/п	Зміст перевірки	Максимальна кількість балів
ІІ семестр
Модуль 3. «Різні підходи до побудови арифметики цілих невід’ємних чисел.».
1.	ЗМ31:«Теоретико-множинний підхід до побудови арифметики цілих невід’ємних чисел».
2.	ЗМ32: «Аксіоматична побудова арифметики цілих невід’ємних чисел».
3.	ЗМ33:«Натуральне число як результат вимірювання величини».
Модуль 4. «Системи числення. Подільність чисел.».
4.	ЗМ41.«Системи числення».
5.	ЗМ42.«Подільність цілих невід’ємних чисел».
Модуль У. «Розширення поняття про число.».
6.	ЗМ51.«Цілі числа».
7.	ЗМ52.«Раціональні числа».
8.	ЗМ53. «Дійсні числа».
9.	КОЛОКВІУМ № 2:“Різні підходи до побудови множини цілих невід’ємних чисел”.
10.	Контрольна робота № 4.“Різні підходи до побудови множини цілих невід’ємних чисел. ММІ. Відношення подільності.”.
11.	Контрольна робота № 5. “НСД і НСК. Дії над звичайними дробами.”.
12.	Контрольна робота № 6. “Дії над десятковими дробами. Періодичні дроби.”.
13.	Довгострокове завдання № 5.Кількісні натуральні числа в курсі математики початкових класів.
14.	Довгострокове завдання № 6.Порядкові натуральні числа в курсі математики початкових класів.
15.	Довгострокове завдання № 7.Натуральні числа як результат вимірювання величин в курсі математики початкових класів.
16.	Довгострокове завдання № 8.Системи числення та теорія подільності в курсі математики початкових класів.
17.	Довгострокове завдання № 9.Дроби в курсі математики початкових класів.
18.	Своєчасне та якісне виконання домашніх завдань:
Всього балів за ІІ семестр:

Розподіл балів за видами занять для спеціальності 8.010102- дошкільна освіта, початкова освіта.

№ п/п	Зміст перевірки	Максимальна кількість балів
ІІ семестр
Модуль 4. «Системи числення. Подільність чисел.».
1.	ЗМ41.«Системи числення».
2.	ЗМ42.«Подільність цілих невід’ємних чисел».
3.	Контрольна робота № 4.“Різні підходи до побудови множини цілих невід’ємних чисел. ММІ. Відношення подільності.”
4.	Контрольна робота № 5. “НСД і НСК. Дії над звичайними дробами.”.
Модуль 5. «Розширення поняття про число.».
5.	ЗМ51.«Цілі числа».
6.	ЗМ52.«Раціональні числа».
7.	ЗМ53. «Дійсні числа».
8.	Контрольна робота № 6. “Дії над десятковими дробами. Періодичні дроби.”.
Модуль 6. «Вирази. Рівняння. Нерівності. Функції.».
9.	ЗМ61. «Вирази».
10.	ЗМ62.«Рівняння, їх системи та сукупності».
11.	ЗМ63.«Нерівності, їх системи та сукупності».
12.	ЗМ64. «Функції».
13.	КОЛОКВІУМ“Вирази. Рівняння. Нерівності. Функції.”.
14.	Контрольна робота № 7. “Вирази. Рівняння та їх системи.”.
15.	Контрольна робота № 8. “Нерівності та їх системи. Функції.”.
Модуль 7. «Елементи геометрії. Величини.».
16.	ЗМ71.«Геометричні побудови на площині».
17.	ЗМ72.«Многогранники та тіла обертання».
18.	ЗМ73. «Величини та їх вимірювання».
19.	Контрольна робота № 9. “Геометричні побудови. Многогранники. Величини.”.
20.	Довгострокове завдання № 1.Система виразів, рівнянь і нерівностей в курсі математики початкових класів.
21.	Довгострокове завдання № 2.Функціональні залежності та функції в курсі математики початкових класів.
22.	Довгострокове завдання № 3.Геометричні фігури та їх властивості в курсі математики початкових класів.
23.	Довгострокове завдання № 4.Величини та їх властивості в курсі математики початкових класів.
24.	Своєчасне та якісне виконання домашніх завдань:
Всього балів за ІІ семестр:

Підсумковий контроль для спеціальності 8.010102 – початкова освіта у другому семестрі включає в себе:

1. Контрольна робота № 4. “Різні підходи до побудови множини цілих невід’ємних чисел. ММІ. Відношення подільності.”.

2. Контрольна робота № 5. “НСД і НСК. Дії над звичайними дробами.”.

3. Контрольна робота № 6. “Дії над десятковими дробами. Періодичні дроби.”.

4. КОЛОКВІУМ № 2: “Різні підходи до побудови множини цілих невід’ємних чисел”.

5. Довгострокове завдання № 5. Кількісні натуральні числа в курсі математики початкових класів.

6. Довгострокове завдання № 6. Порядкові натуральні числа в курсі математики початкових класів.

7. Довгострокове завдання № 7. Натуральні числа як результат вимірювання величин в курсі математики початкових класів.

8. Довгострокове завдання № 8. Системи числення та теорія подільності в курсі математики початкових класів.

9. Довгострокове завдання № 9. Дроби в курсі математики початкових класів.

Підсумковий контроль для спеціальності 8.010101 – дошкільна освіта, початкова освіта у ІІ семестрі включає в себе:

1. Контрольна робота № 4. “Різні підходи до побудови множини цілих невід’ємних чисел. ММІ. Відношення подільності.”.

2. Контрольна робота № 5. “НСД і НСК. Дії над звичайними дробами.”.

3. Контрольна робота № 6. “Дії над десятковими дробами. Періодичні дроби.”.

4. Контрольна робота № 7. “Вирази. Рівняння та їх системи.”.

5. Контрольна робота № 8. “Нерівності та їх системи. Функції.”.

6. Контрольна робота № 9. “Геометричні побудови. Многогранники. Величини.”.

7. КОЛОКВІУМ № 3: “Вирази. Рівняння. Нерівності. Функції.”.

8. Довгострокове завдання № 5. Система виразів, рівнянь і нерівностей в курсі математики початкових класів.

9. Довгострокове завдання № 6. Функціональні залежності та функції в курсі математики початкових класів.

10. Довгострокове завдання № 7. Геометричні фігури та їх властивості в курсі математики початкових класів.

11. Довгострокове завдання № 8. Величини та їх властивості в курсі математики початкових класів.

Дата добавления: 2014-01-06